Warum gibt es keine Determinante eines Homomorphismus?

08.09.2014, 10:42	Anke89	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum gibt es keine Determinante eines Homomorphismus? Meine Frage: Hallo, ich hänge bei einer Prüfungsvorbereitung bei der folgenden Frage: Warum gibt es keine Determinante eines Homomorphismus f: V --> W, selbst dann nicht, wenn dim V = dim W ist? Meine Ideen: Solange ich einen Endomorphismus f: V --> V betrachte ist die Determinante sogar eindeutig definiert. Wenn F bezüglich irgendeiner Basis F von V durch die Matrix A beschrieben, definiert man det(F)=det(A). Die Eindeutigkeit könnte ich auch noch zeigen, aber bei obiger Frage hilft mir das leider auch nicht weiter. Hat jemand Ideen für mich?
08.09.2014, 10:49	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Solch eine Determinante wäre erst dann eindeutig definiert, wenn man einen Iso $\begin{align} V \cong W \end{align}$ fixiert, also eine Wahl trifft. Folglich kann man nur aus dem Datum des Homomorphismus keine Determinante definieren.
08.09.2014, 11:11	Anke89	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal danke für deine Antwort, aber ich verstehe nur Bahnhof Datum des Homomorphismus? Zu meiner Idee könnte ich ja eine weitere Basis F' von V nehmen, so dass f bezüglich dieser Basis durch die Matrix B beschrieben wird. Dann gilt $\begin{eqnarray} A = S^{-1} A S \end{eqnarray}$ mit einer Matrix $\begin{eqnarray} S \in GL(n,K) \end{eqnarray}$ . Also sind A und B ähnlich. Mit dem Determinatenma ultiplikationssatz ist dann $\begin{eqnarray} Det A = det B \end{eqnarray}$ und somit det (f) durch $\begin{eqnarray} det(F)=det(A) \end{eqnarray}$ wohldef. Aber das ganze bringt mir bei einem Homo f: V -> W nicht viel.
08.09.2014, 12:03	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
"Datum" ist einfach der Singular von "Daten". Letztendlich beschreibst du das Problem schon ganz gut. Im Fall eines Endomorphismus gibt es eine kanonische Wahl, wie man die Basis des Zielraumes V ändern muss, wenn man die Basis des Abbildungsraumes V ändert: Nämlich der selbe Basiswechsel. Dies liegt daran, dass es in GL(V) ein ausgezeichnetes Element gibt: Die Identität. Wenn man aber einen Homomorphismus $\begin{align} V \to W \end{align}$ hat, geht es das so nicht mehr, weil man vorher einen Iso von V nach W wählen müsste.
08.09.2014, 12:06	Anke89	Auf diesen Beitrag antworten »
und so einen Isomorphismus kann ich ohne weiteres nicht wählen? Warum geht das bei gleicher Dimension nicht?
08.09.2014, 12:09	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich kannst du den wählen, aber es gibt eben keine kanonische Wahl. Und die Determinante würde eben von dieser Wahl abhängen.
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08.09.2014, 12:40	Anke89	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Also als Fazit!? Warum gibt es keine Determinante eines Homomorphismus f: V --> W, selbst dann nicht, wenn dim V = dim W ist? Weil dazu zunächst einmal ein Isomorphismus zwischen V und W gebildet werden müsste und die Determinante von der Wahl des Iso abhängt. Ohne Isomorphis keine Determinante.

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