Drehung als Beispiel eines Homomorphismus ohne Eigenwerte |
08.09.2014, 11:53 | Tim92 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Drehung als Beispiel eines Homomorphismus ohne Eigenwerte ich soll ein Beispiel eines Homomorphismus ohne Eigenwerte kennen. Meine Prof meinte als Beispiel die Drehung: Es gilt dann daraus folgt, dass die Nullstellen sind. Da liegen soll, ist dann und das ist äquivalent zu oder . Und damit ist oder (wenn man einsetzt. Da aber Eigenwerte den Betrag 1 haben, hätte ich doch nun zwei Eigenwerte. Wo ist mein Fehler? |
||||||
08.09.2014, 14:40 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Drehung als Beispiel eines Homomorphis ohne Eigenwerte Willst du einen EW, der nicht in liegt, dann nimm doch einfach ein . Das sind dann die Drehungen ohne Eigenvektoren. |
||||||
08.09.2014, 15:22 | Tim92 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Drehung als Beispiel eines Homomorphis ohne Eigenwerte
oh man. so einfach ist das?! da hab ich wohl den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr gesehen. Danke dir! |
||||||
09.09.2014, 09:15 | Tim92 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Drehung als Beispiel eines Homomorphis ohne Eigenwerte Ich bins nochmal^^ Wenn ich als Beispiel die Drehung mit nehme: Es gilt dann daraus folgt, dass die Nullstelle ist. Wieso ist 1 nun kein Eigenwert in R? |
||||||
09.09.2014, 09:59 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Drehung als Beispiel eines Homomorphis ohne Eigenwerte
Ich verstehe dein Problem nicht. Du wolltest doch eine Abbildung, die gerade keinen reellen Eigenwert und damit Eigenvektor hat. Die Drehung um in diesem Raum ist nichts anderes als die Identitätsabbildung. Natürlich hat die als einzigen EW die 1 und ist ein Beispiel für eine Abbildung mit reellem EW und rellen EVs. Es ist nämlich jeder Vektor aus Eigenvektor dieser Abbildung. Bei der Drehung um ist ebenfalls der gesamte Raum Eigenraum, aber zum EW -1. Das ist nichts anderes als die Punktspiegelung am Ursprung.
|
||||||
09.09.2014, 10:00 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich "glaube", dass es da noch mehr Möglichkeiten für gibt. |
||||||
Anzeige | ||||||
|
||||||
09.09.2014, 10:08 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es steht jetzt hier nirgends dabei: Aber natürlich macht man a priori die Einschränkung . Und dann sind die einzigen beiden Ausnahmen tatsächlich die von deinem Prof und RavenOnJ genannten (Und genau so haben die beiden es auch gemeint). |
||||||
09.09.2014, 11:22 | Tim92 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ahhhh. Was für dumme Fehler. Cos und sin sind ja 2pi-periodisch und damit sind die Funktionen an den Stellen 0 und 2pi identisch^^ dann nehm ich einiges zurück. Also im Grunde brauch ich dann allgemein (auf 2x2 Matrizen bezogen) eine Matrix bei der die charakteristische Gleichung keine Lösung im Bereich der reellen Zahlen hat. Und das wiederum geschieht genau dann, wenn die Diskriminante negativ ist, also wenn ist. Also z.B. und , also z.B. und . Das ganze wäre dann die Drehung um bzw. 60°. Wenn das stimmt, sollte ich es verstanden haben. Danke euch! |
||||||
09.09.2014, 14:04 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genau, wenn die Diskriminante , dann gibt es ein Paar konjugiert komplexer Eigenwerte. Dies ist möglich bei 2-dimensionalen Matrizen. Bei 3-dimensionalen, rellen und invertierbaren Matrizen gibt es immer mindestens einen rellen EW. Dies gilt generell für solche Matrizen in . (Fundamentalsatz der Algebra) |
|
Verwandte Themen
Die Beliebtesten » |
|
Die Größten » |
|
Die Neuesten » |
|