Potenzreihenentwicklung |
| 16.08.2004, 10:26 | Goosberry | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Potenzreihenentwicklung bin gerade auf dieses Forum gestoßen...und da ich momentan einige Probleme bei meiner Klausurvorbereitung habe...hier meine Aufgabe: Bestimmen Sie die Menge aller derjendigen reellen Zahlen x, in der die Potenzreihe konvergiert. Jetzt meine Frage: Kann ich den o.g. Ausdruck erstmal quadrieren (damit die Wurzel wegfällt) und dann gem. Quotientenkriterium weiterarbeiten? Wäre nett, wenn ihr mir kurze Hilfe leisten könnt. Vielen Dank. Goosberry also ich bekomme als Ergebnis folgendes heraus: für x < 1, Reihe konvergiert absolut für x > 1, Reihe konvergiert für x = 1, keine Aussage Ist das wohl richtig? EDIT: Bitte keine Doppelpostings (therisen) |
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| 16.08.2004, 11:37 | Professer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi Goosberry! Zweite und dritte Aussagen sind falsch. |
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| 16.08.2004, 11:49 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Klare Antwort: Nein. Nimm etwa die Reihe Sie hat den Konvergenzradius ½. Die Reihe mit den quadrierten Koeffizienten dagegen hat den Konvergenzradius ¼. Bei deinem Beispiel würde der Denkfehler allerdings nicht auffallen, da diese Reihe den Konvergenzradius 1 hat (aber das weiß man ja erst im nachhinein), so daß sich das Quadrieren nicht auf den Konvergenzradius auswirkt (1²=1). Ich versuche, solche Aufgaben immer durch trickreiche Manipulationen zu lösen. Ich verwende dabei die folgenden Tatsachen: 1. Potenzreihen dürfen gliedweise differenziert und integriert werden. Dabei ändert sich der Konvergenzradius nicht. 2. Das Abändern endlich vieler Glieder der Potenzreihe ändert den Konvergenzradius nicht. 3. Multiplikation mit einer Konstanten oder einer festen Potenz von x ändert den Konvergenzradius nicht. Bei deiner Potenzreihe fällt das n im Zähler des Bruches auf. So ein n entsteht immer beim Differenzieren. Also betrachte ich die Ersatzreihe und erhalte durch Differenzieren: . Nach 1. haben beide Reihen denselben Konvergenzradius. Jetzt multipliziere ich die Reihe mit x, um den Exponenten wieder in Ordnung zu bringen: Nach 3. ändert sich der Konvergenzradius dabei nicht. Um also den Konvergenzradius der vorgegebenen Reihe zu bestimmen, kann man ebensogut den der Reihe von f(x) oben bestimmen. Ja, ich gehe noch einen Schritt weiter. Ich multipliziere die Reihe von f(x) wieder mit x (nach 3. also erneut keine Änderung des Konvergenzradius): Jetzt mußt du nur noch den Konvergenzradius der letzten Reihe ermitteln. Er ist auch der Konvergenzradius deiner Reihe. Ich hoffe, ich habe dich mit diesen Ausführungen nicht verwirrt. Man braucht etwas Erfahrung, um auf solche Umformungen zu kommen. Sie erleichtern einem aber die Grenzwertberechnung, weil man einfachere Terme hat. Was du jedoch nicht tun darfst, ist, einfach das Quotientenkriterium auf die quadrierten Koeffizienten anzuwenden (siehe oben). Wenn du den von mir vorgeschlagenen Weg nicht gehen willst, kannst du auch direkt mit dem gegebenen Koeffizienten das Quotientenkriterium versuchen. Dann mußt du dich halt bei der Grenzwertberechnung ein bißchen anstrengen. Tip: Alles unter eine Wurzel ziehen. Unter der Wurzel stehen in Zähler und Nenner Polynome in n vom Grade 3. Klammere in Zähler und Nenner dann n³ aus und kürze. Alle Summanden deines Bruches werden dann Nullfolgen. Und die Wurzelfunktion ist stetig. Also kannst du den Grenzwert leicht berechnen. Beachte, daß du laut Aufgabenstellung alle x bestimmen sollst, für die die Reihe konvergiert. Der Konvergenzradius r sagt aber nur aus: Konvergenz in für |x|<r und Divergenz für |x|>r. Den Fall |x|=r mußt du also noch gesondert untersuchen. Das ist aber hier einfach. Beachte, daß die Glieder eine konvergenten Reihe immer eine Nullfolge bilden müssen. edit: Latex-Code verbessert. (MSS) |
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| 16.08.2004, 11:55 | mathemaduenn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Goosberry, quadrieren ist i.A. für Reihen tabu. Die Konvergenzbetrachtungen mit dem Quotientenkriterium funktionieren aber auch ohne quadrieren und man kommt zum gleichen Ergebnis. Für x=1 kann nach dem Quotientenkriterium keine Aussage getroffen werden wenn man aber x=1 in die Reihe einsetzt kann man sich überlegen ob Konvergenz vorliegt. gruß mathemaduenn Edit: i.A. x=-1 nicht vergessen |
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| 16.08.2004, 12:25 | Goosberry | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank für Eure Hilfe! Hat mir wirklich sehr weitergeholfen. Dann werde ich jetzt wohl noch ein wenig üben müssen um Routine zu bekommen. Grüße Goosberry |
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| 16.08.2004, 18:52 | economic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ein WiWi 
Welche Uni? |
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| 17.08.2004, 00:50 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Woran erkennst du das denn? |
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| 17.08.2004, 07:30 | Goosberry | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja, stimmt! Studiere wirklich Wiwi (in Wuppertal). Aber mich würde auch mal interessieren woran man das so schnell erkennen konnte... Grüße Goosberry |
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| 17.08.2004, 14:53 | economic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
1. Weil sonst niemand so spät Klausuren schreibt. 2. mit Wuppertal habe ich gerechnet, weil das eine alte Klausuraufgabe vom Höhle ist
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| 17.08.2004, 15:03 | Goosberry | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
...auch wenn sich dieser Beitrag langsam zu einem offtopic entwickelt...aber eine (naja zwei) Fragen hab' ich da doch noch. 1. Wo studierst du denn? 2. Warum kennst du Prof. Höhle? 
Grüße Goosberry |
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| 17.08.2004, 15:25 | economic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich studiere auch in Wuppertal.
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| 17.08.2004, 16:02 | Goosberry | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ist ja lustig... ...aber du studierst doch kein Wiwi? Oder doch? Dann aber auf Lehramt? Habe nämlich in einem anderen Beitrag von dir gesehen, dass du Fragen zu Statistik hast. Und dort auch schreibst, dass die Statistik-Aufgaben in deiner Mathe-Klausur drankommen! Und in Wtal haben wir ja nunmal Mathe und Statistik als getrennte Fächer. Grüße + viel Erfolg bei deiner Klausur! :] Goosberry |
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| 17.08.2004, 16:16 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
... und am Schluß stellt sich noch heraus, daß E und G seit drei Jahren nebeneinander in der Vorlesung sitzen und noch nie ein Wort miteinander gesprochen haben ... |
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| 17.08.2004, 22:16 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Ingenieure schreiben i.d.R. noch viel später (jedenfalls bei uns). |
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