Zentrum von G nicht das Erzeugnis von 1

10.09.2014, 11:03

MartinL

Zentrum von G nicht das Erzeugnis von 1

Moin,

ich habe folgende Aufgabe:
Sei G eine endliche Gruppe
Ist |G| eine Primzahlpotenz größer 1, so ist $\begin{eqnarray*} Z(G) \neq <1_G> \end{eqnarray*}$ . Dabei ist $\begin{eqnarray*} Z(G) = \{ g \in G \ \ | \ \ x^g = x \ \ \forall x \in G \} \end{eqnarray*}$ .

Ich habe mir überlegt, dass ich eventuell Lagrange benutzen und sagen könnte, dass die Ordnung von Z(G) ein Teiler der Ordnung von G sein muss. Wie ich aber damit weiterkomme weiß ich nicht, weil ich das mit dem Erzeugnis von 1 nicht richtig verstehe. Ich habe ja keine Verknüpfung gegeben. Wenn ich als Gruppenverknüpfung die Multiplikation hätte, wäre ja im Erzeugnis von 1 nur die 1 selbst drin. Oder hab ich da gerade einen absoluten Denkfehler?

Dann habe ich noch eine Frage zu Latex, die ich schon immer mal stellen wollte. In der Definition oben vom Zentrum von G habe ich selbst Leerzeichen eingefügt. Ist das so gewollt, dass alles direkt aneinandergepatscht wird? Ich finds viel unübersichtlicher ohne die Leerzeichen. Hier mal der Vergleich:
$\begin{eqnarray*} Z(G) = \{ g \in G \ \ | \ \ x^g = x \ \ \forall x \in G \} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Z(G) = \{ g \in G | x^g = x \forall x \in G \} \end{eqnarray*}$

Wäre toll, wenn ihr mich mit dem Erzeuger auf den richtigen Weg bringen könntet. Der Rest der Aufgabe ergibt sich ja dann vielleicht.

Gruß
Martin

10.09.2014, 11:12

tmo

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Das Erzeugnis der 1 ist einfach die triviale Gruppe.

Aber mit so leichten Geschützen wie Lagrange wirst du hier nicht weit kommen.

Lasse G durch Konjugation auf sich selbst operieren und betrachte die Bahnen. Deren Mächtigkeit ist entweder 1 (Was bedeutet eine solche Bahn fürs Zentrum?) oder durch p teilbar.

10.09.2014, 11:17

MartinL

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Mhh, hätte ich auch so angenommen mit der 1. Ich glaub ich hab da die 1 als neutrales Gruppenelement und die 1 als Zahl bei den ganzen Zahlen durcheinander geworfen. Bei den ganzen Zahlen ist das Erzeugnis von 1 ja Z, allerdings ist 1 da auch nicht das neutrale Element bzgl. +. Die hier gemeinte 1 als neutrales Element wäre da ja 0. Sowas werf ich einfach noch zu oft durcheinander, ich denk nicht genau genug über den Kontext nach.

"Bahn" sagt mir leider überhaupt nichts. Könnte ich mich nicht auch auf die Suche nach einem Element machen, welches Aufgrund der Ordnung von G im Zentrum liegen müsste ohne 1 zu sein? Dann hätte ich ja ein zweites Element im Zentrum und somit die Aussage gezeigt. Ich probier das erst mal und suche sonst noch mal nach der Bedeutung von "Bahn".

Gruß
Martin

10.09.2014, 11:25

tmo

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Zitat:

Original von MartinL
Mhh, hätte ich auch so angenommen mit der 1. Ich glaub ich hab da die 1 als neutrales Gruppenelement und die 1 als Zahl bei den ganzen Zahlen durcheinander geworfen. Bei den ganzen Zahlen ist das Erzeugnis von 1 ja Z, allerdings ist 1 da auch nicht das neutrale Element bzgl. +. Die hier gemeinte 1 als neutrales Element wäre da ja 0. Sowas werf ich einfach noch zu oft durcheinander, ich denk nicht genau genug über den Kontext nach.

Gute Selbstreflektion Freude

Zitat:

Original von MartinL
"Bahn" sagt mir leider überhaupt nichts. Könnte ich mich nicht auch auf die Suche nach einem Element machen, welches Aufgrund der Ordnung von G im Zentrum liegen müsste ohne 1 zu sein?

Sagt dir evtl. die Klassengleichung etwas?

Ja, generell hört sich das mit der Suche ganz gut an, aber die Sache ist halt schon nicht ganz trivial. Ohne Konjugationsklassen (Ob die jetzt im Kontext von Gruppenoperationen eingeführt werden, oder nicht, ist egal) wird es schwer.

10.09.2014, 12:24

MartinL

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Klassengleichung sagt mir auch nichts. Allerdings sagt mir "Konjugiertenklasse" (=Konjugationsklasse?) was. Die Konjugiertenklasse von x in G ist: $\begin{eqnarray*} x^G = \{ x^g | g \in G \} \end{eqnarray*}$ .

Über diese Klasse weiß ich sogar schon einiges.

1. Die Konjugiertenklasse von x in G ist eine Rechtstransverale des Zentralisators von x in G
2. G ist die disjunkte Vereinigung seiner unterschiedlichen Konjugiertenklassen.
Ich weiß also, dass $\begin{eqnarray*} x_1^G = x_2^G \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x_1^G \cap x_2^G = \emptyset \end{eqnarray*}$

Weiter komm ich aber trotzdem nicht. Ich weiß nicht, wo ich den Hebel ansetzen soll.

10.09.2014, 13:23

tmo

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Ja, letztendlich musst du nur noch 1. und 2. zusammenbasteln.

1. Gibt dir, dass $\begin{align*} |x^G| \cdot |C_x| = |G|=p^n \end{align*}$ für alle x gilt ( $\begin{align*} C_x \end{align*}$ ist der Zentralisator).

2. Gibt dir $\begin{align*} |x_1^G| + |x_2^G| + \dotsc + |x_n^G| = |G|=p^n \end{align*}$

1. und 2. zusammen liefert dann die Behauptung.

10.09.2014, 17:34

MartinL

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Ne ich bekomm den Zusammenhang mit dem Zentrum nicht hin. Ich muss ja wahrscheinlich irgendwo benutzen, dass p eine Primzahl ist. Also muss ich irgendwie gucken, dass ich die Ordnungen durcheinander teile und irgendwo taucht dann ein Widerspruch auf weil dann irgendwo irgendwas p teilen müsste. Ich weiß aber nicht wie und nicht wo.

10.09.2014, 20:53

tmo

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Zitat:

Original von tmo
1. Gibt dir, dass $\begin{align*} |x^G| \cdot |C_x| = |G|=p^n \end{align*}$ für alle x gilt ( $\begin{align*} C_x \end{align*}$ ist der Zentralisator).

Was bedeutet das für $\begin{align*} |x^G| \end{align*}$ hinsichtlich Teilbarkeit durch p?

10.09.2014, 21:19

MartinL

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Na die Ordnung von x^G müsste auch eine Potenz von p und somit durch p selbst teilbar sein. Ich seh aber immer noch keine Folgerung, die mich zur Ordnung vom Zentrum führt.

11.09.2014, 08:12

tmo

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Ja, entweder durch p teilbar oder halt $\begin{align*} p^0 = 1 \end{align*}$

Aber jetzt nochmal die Frage: Wenn du ein $\begin{align*} x \in G \end{align*}$ hast und $\begin{align*} |x^G| \end{align*}$ kennst. Woran erkennst du nun, ob x im Zentrum liegt oder nicht?

Und dann überlege mal weiter, z.b. betrachte die Gleichung in 2. modulo p...

11.09.2014, 08:30

MartinL

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Ahh, da ist die Verbindung. Wenn x im Zentrum liegt, ist $\begin{eqnarray*} x^G = \{x \} \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} |x^G| = p^0 = 1 \end{eqnarray*}$ . Dann muss ich jetzt also nur noch aus der Gleichung irgendwie herauslesen, dass es ein x geben muss, für das das so gegeben ist.

Als du das hier geschrieben hast:

Zitat:

Deren Mächtigkeit ist entweder 1 (Was bedeutet eine solche Bahn fürs Zentrum?) oder durch p teilbar.

War ich wohl noch zusehr mit den Bahnen beschäftigt.

11.09.2014, 08:34

tmo

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Du kommst der Sache näher.

Zitat:

Original von MartinL
Dann muss ich jetzt also nur noch aus der Gleichung irgendwie herauslesen, dass es ein x geben muss, für das das so gegeben ist.

Für ein x weißt du das ja schon, nämlich für das neutrale Element. Also musst du tatsächlich aus der Gleichung herauslesen, dass es noch ein mind. ein zweites gibt.

11.09.2014, 08:45

MartinL

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Das erinnert mich an den Beweis von Euler, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Wenn nämlich ein Summand schon auf jeden Fall 1 ist und jeder weitere Summand durch p Teilbar ist, dann ist die Summe auf jeden Fall nicht durch p teilbar. Also kann die Summe auch nicht p^n sein, denn das wäre durch p teilbar. Da die Summe aber p^n und somit durch p teilbar ist, kann das neutrale Element nicht das einzige sein, für das $\begin{eqnarray*} |x^G| = 1 \end{eqnarray*}$ ist.

Danke für die Geduld, diese Lösung musste man mir tatsächlich etwas aus der Nase ziehen Big Laugh

Gruß
Martin

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