Lineare Abbildungen

11.09.2014, 18:34

Cygan

Lineare Abbildungen

Es seien V,W Vektorräume und f: V -> W eine lineare Abbildung. Zeigen Sie: Sind $\begin{align*} v_1,v_2,v_3 \in V \end{align*}$ und ist (f(v1),f(v2),f(v3)) linear unabhängig, so ist auch (v1,v2,v3) linear unabhängig.
Mir fehlt hier leider völlig der Ansatz!

EDIT(Helferlein): Unicode durch Element-Zeichen in Mathjax ersetzt (s.u.)

11.09.2014, 18:44

bijektion

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Soll das $\begin{eqnarray*} v_1,v_2,v_3\in V \end{eqnarray*}$ heißen?

11.09.2014, 19:19

Cygan

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Oh ja sorry
ich werde es mal ausbessern
(geht leider nicht mehr)

13.09.2014, 15:15

Cygan

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jemand eine Idee?

13.09.2014, 15:23

URL

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Wie lautet denn die Bedingung für lineare Unabhägigkeit von $\begin{align*} v_1,v_2,v_3 \end{align*}$ ?

15.09.2014, 11:42

Cygan

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Also $\begin{eqnarray*} v_1,v_2,v_3 \end{eqnarray*}$ sind genau dann linear unabhängig falls gilt:
$\begin{eqnarray*} \lambda_1*v_1+\lambda_2*v_2+\lambda_3*v_3=0 \end{eqnarray*}$
Und $\begin{eqnarray*} \lambda_1-\lambda_3 \end{eqnarray*}$ =0 ist.

15.09.2014, 11:48

10001000Nick1

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Das hat so ziemlich gar nichts mit der Definition von linearer Unabhängigkeit zu tun. unglücklich

16.09.2014, 11:48

Cygan

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hmm jetzt bin ich verwirrt bisher habe ich angenommen das diese Definiton für l.u. gültig ist unglücklich

Es muss doch so sein das die Vektorgleichung:
$\begin{eqnarray*} \lambda_1*v_1+\lambda_2*v_2+\lambda_3*v_3=0 \end{eqnarray*}$
mindestens die triviale Lösung hat
$\begin{eqnarray*} \lambda_1=0,\lambda_2=0,\lambda_3=0 \end{eqnarray*}$
Und ist dies die einzige Lösung so sind die vektoren v1,v2,v3 l.u.

16.09.2014, 12:04

klarsoweit

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Das ist in Ordnung. Vermutlich hat dein Bindestrich zur Verwirrung geführt, da dies eher als Minuszeichen interpretiert wird. smile

Jetzt sind (f(v1),f(v2),f(v3)) linear unabhängig. Nimm nun an, daß aber (v1, v2, v3) linear abhängig wären. Was muß es dann geben?

16.09.2014, 22:52

mYthos

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@10001000Nick1
Dein patzig hingeworfenes Statement mit dem ärgerlichen Emoticon gehört nicht zum guten Umgangston.
Du hättest wenigstens das "bis" - Zeichen hinterfragen können, auch wenn es mathematisch nicht korrekt war.

mY+

18.09.2014, 11:51

Cygan

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Zitat:

Nimm nun an, daß aber (v1, v2, v3) linear abhängig wären. Was muß es dann geben?

Dann gibt es:
$\begin{eqnarray*} \lambda_1*v_1+\lambda_2*v_2+\lambda_3*v_3=0 \end{eqnarray*}$
Mit $\begin{eqnarray*} \lambda_1=0,\lambda_2=0,\lambda_3=0, \end{eqnarray*}$
Oder was meintest du?

18.09.2014, 15:15

klarsoweit

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Zitat:

Original von Cygan
Dann gibt es:
$\begin{eqnarray*} \lambda_1*v_1+\lambda_2*v_2+\lambda_3*v_3=0 \end{eqnarray*}$
Mit $\begin{eqnarray*} \lambda_1=0,\lambda_2=0,\lambda_3=0, \end{eqnarray*}$

Das gibt es - wie du weiter oben schon sagtest - trivialerweise immer. Aber was muß es darüberhinaus noch geben?

20.09.2014, 17:53

Cygan

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Was mir noch einfällt das bei Linearer Abhängigkeit gilt:
Jeder Vektor lässt sich als Linearkombination der anderen Vektoren schreiben.
Z.B v1= av2+bv3

21.09.2014, 12:02

klarsoweit

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Nun ja, das stimmt im Allgemeinen nicht. Beispiel: betrachte die Vektoren (1, 0), (0, 1) und (0, 2). Wie willst du nun (1, 0) aus den anderen beiden darstellen?

Die Sache ist doch zu einfach: wenn die Vektoren linear abhängig sind, dann gibt es ein j mit 1 <= j <= 3, so daß $\begin{eqnarray*} \lambda_j \neq 0 \end{eqnarray*}$ gilt und $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^3 v_i = 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Wende nun auf die Summe die Abbildung f an.

24.09.2014, 13:53

Cygan

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Also wenn ich das darauf anwende:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^3 f(v_{i})=0=f(v_{1})+f(v_{2})+f(v_{3})=f(0)+f(0)+f(0)=0+0+0=0 \end{eqnarray*}$
So?

24.09.2014, 14:17

klarsoweit

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Sorry, ich habe mich in meinem vorigen Post vertippert. So lautet es richtig:

Wenn die Vektoren v1, v2, v3 linear abhängig sind, dann gibt es ein j mit 1 <= j <= 3, so daß $\begin{eqnarray*} \lambda_j \neq 0 \end{eqnarray*}$ gilt und $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^3 \lambda_i \cdot v_i = 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Jetzt wenden wir die Abbildung f darauf an:

$\begin{eqnarray*} f \left(\sum_{i=1}^3 \lambda_i \cdot v_i \right) = f(0) \Rightarrow \sum_{i=1}^3 \lambda_i \cdot f(v_i) = 0 \end{eqnarray*}$

Was folgt nun aus der rechten Gleichung? Beachte, daß es ein j gibt mit $\begin{eqnarray*} \lambda_j \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

25.09.2014, 18:49

Cygan

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Ok also:
$\begin{eqnarray*} \left(\sum_{i=1}^3 \lambda_i \cdot v_i \right) = f(0) \Rightarrow \sum_{i=1}^3 \lambda_i \cdot f(v_i) = 0 \end{eqnarray*}$
Wenn ich nun meine Abbildung darauf anwende:
$\begin{eqnarray*} \lambda_1*f(v_1)+\lambda_2*f(v_2)+\lambda_3*f(v_3)=0 \end{eqnarray*}$
Daraus folgt ja das $\begin{eqnarray*} v_1=v_2=v_3=0 \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} \lambda_i \neq 0 \end{eqnarray*}$
Richtig?

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