Gerade und Ebene: In welchem Punkt auf der Geraden ist der Abstand zur Ebene 50

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StRb Auf diesen Beitrag antworten »
Gerade und Ebene: In welchem Punkt auf der Geraden ist der Abstand zur Ebene 50
Hey there!

Ich hänge an einer Aufgabe, bei der mir gerade der Durchblick fehlt.

Folgende Aufgabenstellung (ins Deutsche übersetzt):
Ein Pilot soll es dem Kontrollzentrum/-turm umgehend mitteilen, wenn sich sein Flugzeug innerhalb eines Abstands von 50km zur Ebene , gegeben mit der Gleichung
,
befindet.

Der Pilot steuert nun den Kurs an, ohne die Richtung zu verändern. Wann soll der Pilot sich beim Kontrollturm melden?


Hier noch eben die Punkte: und


Meine einzige Idee ist zunächst einmal, die Gerade zu ermitteln, die durch B und C verläuft.
Da wäre die Parameterdarstellung: , t€R

Aber dann bin ich überfordert, bzw. weiß ich nicht einmal, ob diese Vorgehensweise korrekt ist. Über Anregungen, Tipps und Aufdiesprüngehilfe würde ich mich sehr freuen. Freude
Stefan03 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

dein Vorgehen ist soweit richtig.

Weißt du, wie man allgemein den Abstand zw. Punkt und Ebene berechnet?

Stichwort Hesse-Normalform.

Wenn es um den Abstand geht, spielt auch immer das Lot eine wichtige Rolle.

Wie steht denn der Normalenvektor zu Ebenen? In welcher Beziehung muss dann der Richtungsvektor deiner Gerade BC zum Richtungsvektor der Ebene stehen?

Mit diesen Infos sollte die Aufgabe lösbar sein, hoffe ich zumindest Augenzwinkern
StRb Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Stefan03Weißt du, wie man allgemein den Abstand zw. Punkt und Ebene berechnet?

Stichwort Hesse-Normalform.

Wenn es um den Abstand geht, spielt auch immer das Lot eine wichtige Rolle.

Wie steht denn der Normalenvektor zu Ebenen? In welcher Beziehung muss dann der Richtungsvektor deiner Gerade BC zum Richtungsvektor der Ebene stehen?

Abstand zwischen Punkt und Ebene ist errechenbar, indem man den Punkt in die Ebene einsetzt und davon den numerischen Wert mit der Länge des Normalenvektors dividiert – soweit korrekt, oder?
Normalenvektor einer Ebene natürlich orthogonal zur Ebene selber. Wie meinst du das mit den Richtungsvektoren und deren Beziehung zueinander?
Von Hesse-Normalform höre ich zum ersten Mal ... verwirrt

Ich befürchte, ich bräuchte noch ein bisschen Hilfe. Aber vielen Dank schon mal fürs Antworten an sich! :-)
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage, WANN sich der Pilot beim Kontrollturm melden soll, kann nicht beantwortet werden, da weder die Geschwindigkeit, noch die Zeiten der Flugroute bekanntgegeben worden sind.
Allenfalls kann der Punkt auf der Geraden bestimmt werden.
-------------
Die HNF (Hesse'sche Normalform) wird durch deine Abstandsdefinition so ungefähr beschrieben.
Genauer gesagt, sollen die Koordinaten des Punktes in die auf NULL gebrachte Ebenengleichung eingesetzt und dann durch den Betrag des Normalvektors dividiert werden.
Bei dieser Aufgabe ist der Punkt jedoch zunächst nicht bekannt, also muss man umgekehrt (mit dem gegebenen Abstand) vorgehen.

Es wird sich als günstiger erweisen, zunächst die Parallelebene(n)* im Abstand 50 zu bestimmen (Korridor) und diese dann mit der Geraden zum Schnitt zu bringen!
Achtung, es gibt zwei Lösungen, eine beim Eintreten und die andere beim Verlassen des Korridors.

(*)
In die allgemeine HNF wird anstatt 0 der Abstand 50 eingesetzt (die Punkt-Koordinaten bleiben allgemein)

mY+
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gerade und Ebene: In welchem Punkt auf der Geraden ist der Abstand zur Ebene 50
ich helfe mal ein wenig aus. Die Ebene

,

schreibt man um:



und jetzt noch mit dem Betrag des Normalenvektors dividieren. = Hessesche Normalenvektorform.

Setzt man links nun einen Nicht-Ebenenpunkt ein, dann ist der Betrag des Wertes der Abstand.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

EDIT: Fehlerhaftes Statement korrigiert. Danke Dopap!

.. setzt man nach der Division durch den Betrag des Normalvektors rechts +50 oder -50, so sind das die Gleichungen der Parallelebenen.

mY+
 
 
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
.. setzt man anstatt dessen rechts +50 oder -50 dividiert durch den Betrag des Normalvektors, so sind das die Gleichungen der Parallelebenen.

mY+


Ich würde zuerst den linken Term durch den Betrag des Normalenvektors dividieren und das dann = Plus Minus 50 setzen smile
StRb Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme ganz und gar nicht mit.

Könntet ihr es mir idiotensicher erklären in verhältnismäßigem Normaldeutsch? Ich kenne die Begriffe lediglich auf einer anderen Sprache und muss alles, was ich hier schreibe, vorher übersetzen.

Ich lese hier etwas von der Distance-Formel mit der zu null gesetzten Ebenengleichung die mit dem Betrag des Normalenvektors dividiert wird. Alles gut, aber was für ein Punkt wird in die Ebenengleichung eingesetzt? Und was hat es hier mit +/- 50 auf sich? Das klingt so schön und simpel, wenn man irgendwo 50 addieren oder damit subtrahieren kann ... Aber ich habe leider not a clue. Verzeiht mir.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gerade und Ebene: In welchem Punkt auf der Geraden ist der Abstand zur Ebene 50
Ich habe mich leider im vorigen Beitrag etwas verschrieben, aber schon korrigiert.

Zitat:
Original von Dopap
...


und jetzt noch mit dem Betrag des Normalenvektors dividieren ..




Das sind die Gleichungen der beiden Parallelebenen. So verständlich?

mY+
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

wir hatten doch:

dividiert mit = Betrag des Normalenvektores (2,-4,1)^T



das liest man jetzt so: jeder Punkt der Ebene hat den Abstand Null zur Ebene! (trivial!)

Alle anderen Punkte ,z.B. haben den Abstand:



soweit klar ?
StRb Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Formel ist nicht das Problem (hoffe ich).

Wenn ich nun also an den Stellen von x, y und z die Parameterdarstellung einsetze – öffnet mir das durch anschließendes Isolieren meines die Pforte zum Schnittpunkt zwischen der Linie und der Parallelebene (wobei dieser bzw. die zwei Punkte im Abstand von 50 zu sind)?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so ist es! smile

mY+
StRb Auf diesen Beitrag antworten »

Wow, vielen Dank! Prost
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