Kegelschnitte - Tangenten legen & Eckpunkte berechnen

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Rindi Auf diesen Beitrag antworten »
Kegelschnitte - Tangenten legen & Eckpunkte berechnen
Meine Frage:
Hallo, ich habe in wenigen Tagen Matura/Abitur und brauche Hilfe bei folgendem Beispiel:

Gegeben sind die par: y^2=16x und eine Hyperbel hyp: 2x^2-y^2=18

a) Brechen die Schnittpunkte der beiden Kegelschnitte
b) Lege die Tangenten an die beiden Kurven in diesen Schnittpunkten
c) Berechne die Koordinaten der Eckpunkte des von diesen Tangenten begrenzte Vierecks.
d) Ermittle den Flächeninhalt des Vierecks

Meine Fragen beziehen sich auf c) und d)

Meine Ideen:
Punkt a) habe ich bereits berechnet -> S1 (9/12) S2 (9/-12)
Punkt b) habe ich an und für sich auch schon, bin mir jedoch nicht sicher ob die Tangenten stimmten
-> par in S1 12y=8x+9
-> par in S2 -12y=8x+9
-> hyp in S1 3x-2y=3
-> hyp in S2 3x+2y=3

Und nun weiß ich leider nicht weiter. Ich vermute, dass man die Tangenten schneiden muss, bin jedoch absolut unsicher.

Ich bitte um Hilfe !

Liebe Grüße!
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kegelschnitte - Tangenten legen & Eckpunkte berechnen
Guten Morgen,

ich habe in der Skizze das gesuchte Viereck markiert:

[attach]35328[/attach]

Wie Du sicher sofort gesehen hast, braucht man aus Symmetriegründen nur das obere Dreieck zu berechnen.
Rindi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kegelschnitte - Tangenten legen & Eckpunkte berechnen
Danke für die rasche Antwort!

Ich hab es mir auch schon aufgezeichnet, werde aber leider nicht schlauer.
Nachdem ich immer noch davon ausgehe, dass ich die Tangenten miteinander schneiden muss um auf die jeweiligen Eckpunkte zu kommen, habe ich dies versucht. Doch meine Schnittpunkte/ Eckpunkte stimmen leider nicht annähernd mit der Skizze überein.

Ich bin mir fast sicher, dass dieses Beispiel recht einfach zu lösen ist, aber ich blicks momentan leider gar nicht.
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kegelschnitte - Tangenten legen & Eckpunkte berechnen
Hallo,

Deine Vermutung trügt Dich nicht:

1. Die Eckpunkte auf der x-Achse sind die Nullstellen der Tangenten.

2. Der obere Eckpunkt ist der Schnittpunkt der Parabeltangente von oben und der Hyperbeltangente von unten. Die Gleichungen der Tangente müsstest Du dafür aber schon bestimmt haben.

3. Das Viereck ist ein symmetrischer Drachen, dessen Fläche mit



berechnet wird.
opi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kegelschnitte - Tangenten legen & Eckpunkte berechnen
Zitat:
Original von Rindi

-> par in S1 12y=8x+9
-> par in S2 -12y=8x+9


Die beiden Tangentengleichungen stimmen nicht, da liegen jeweils die Berührpunkte gar nicht drauf. (Steigung ist in Ordnung)

Zur Kontrolle: Eine der Tangenten sollte die Gleichung haben.
Rindi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kegelschnitte - Tangenten legen & Eckpunkte berechnen
Danke, den Fehler hab ich komplett übersehen. Nun stimmen die Eckpunkte auch mit der Skizze überein smile

Muss ich also nur das Dreieck berechnen? Ich nehme an, dass man für den Flächeninhalt des Vierecks " *(1/2) " einfach weg lässt.

Kann 23,07 ... für den Flächeninhalt des Dreiecks hinkommen?
 
 
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kegelschnitte - Tangenten legen & Eckpunkte berechnen
Guten Abend,

ich hatte Dir ja in einer früheren Nachricht geschrieben, dass das Viereck ein Drachen ist und wie man dessen Flächengröße berechnet.

Die Strecke zwischen den beiden Nullstellen ist 10 LE lang (= 1. Diagonale) und die zweite Diagonale hat eine Länge vom doppelten y-Wert des Schnittpunktes.

Dein Wert ist als Näherungswert korrekt, allerdings kann man die Flächengröße hier exakt angeben.
Rindi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kegelschnitte - Tangenten legen & Eckpunkte berechnen
Okay hab den Flächeninhalt mit der Formel des Drachen berechnet und komme auf das selbe Ergebnis wie zuvor. Flächeninhalt beträgt laut meiner Rechnung 46,153... . Womöglich stimmt mein y- Wert der 2. Diagonale nicht.

Im Prinzip habe ich das Beispiel - endlich - verstanden! Für mich ist es nicht so wichtig das exakte Ergebnis zu bekommen, sondern das Prinzip zu verstehen.

Ich bedanke mich für die nette Hilfe ! smile
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kegelschnitte - Tangenten legen & Eckpunkte berechnen
Hallo,

erstens: gern geschehen

und zweitens zur Kontrolle:
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