Finde P, sodass P^-1AP Diagonalmatrix ist..

12.09.2014, 12:44	MartinHos	Auf diesen Beitrag antworten »
Finde P, sodass P^-1AP Diagonalmatrix ist.. Hallo, gegeben ist eine symmetrische Matrix A. Ich suche eine orthogonale Matrix P, sodass $\begin{eqnarray} P^-1 A P \end{eqnarray}$ Diagonalmatrix ist. Wie geht man in solch einem Fall vor? Ich dachte: Eigenvektoren bestimmen -> in eine Matrix eintragen -> diese Matrix ist P. Aber die Eigenwerte sind ziemlich schräg. Vor allem muss P auch orthogonal sein..
12.09.2014, 12:58	MartinHos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Matrix habe ich vergessen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1&-1&1 \\ -1&1&1 \\ 1&1&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
12.09.2014, 13:04	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Matrix ist symmetrisch und daher gebe ich mal das Stichwort "Hauptachsentransformation".
12.09.2014, 13:40	MartinHos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo und Danke - doch auch hierfür brauche ich ja die Eigenvektoren, richtig? Ich habe der Kürze halber mal diese Seite besucht "arndt-bruenner.de -> eigenwerte/eigenvektoren rechner" und die Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen lassen. Wie ich auch hier sehe, lassen sich bereits die Eigenvektoren sehr schwer bestimmen
12.09.2014, 14:39	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja brauchst du. Du brauchst sogar eine ONB von Eigenvektoren, diese existiert auch nach dem Spektralsatz. Die Eigenwerte sind doch erstmal leicht, und auch zwei der Eigenvektoren enthalten vermutlich in zwei Komponenten etwas wie $\begin{eqnarray} \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray}$ . Wie berechnest du denn die Eigenvektoren?
17.09.2014, 17:09	MartinHOS	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, entschuldige die verspätete Antwort. Eigenvektoren berechne ich ganz üblich durch Berechnung von ker(A - tE_n), wobei t der entsprechende Eigenwert ist. Falls alles stimmt müsste $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & \frac{\sqrt{2}}{2} & - \frac{\sqrt{2}}{2} \\ -1 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Diese drei Vektoren müssten jetzt noch mit Gram-Schmidt orthogonalisiert werden, richtig?
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20.09.2014, 18:46	MartinHos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich muss leider nochmal nachfragen, wie es denn weitergeht. Entweder mir passieren dauernd Fehler, oder die obige Matrix ist falsch, oder es geht ganz anders weiter?
20.09.2014, 19:35	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Sollen die Spalten der letzten Matrix die Eigenvektoren sein? Dann ist nur die erste Spalte richtig, die beiden anderen sind falsch. Edit: Damit es hier vorwärts geht: Die Spalten folgender Matrix sind Eigenvektoren zu den Eigenwerten $\begin{align} -\sqrt{2},\sqrt{2},2 \end{align}$ $\begin{align} \begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&-1\\-\sqrt{2}&\sqrt{2}&0 \end{pmatrix} \end{align}$

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