Duale Basis, Musterlösung nicht verständlich

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Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »
Duale Basis, Musterlösung nicht verständlich
Hallo Leute,

ich verstehe nicht, wie sie auf die Musterlösung kommen.
Wie berechnet man jetzt konkret die duale Basis und stellt Sie dann mit der Darstellungsmatrix dar?

Mir reicht nur ein Hinweis, bezüglich der Berechnung von

Könnt ihr mir helfen bitte?
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RE: Duale Basis, Musterlösung nicht verständlich
Hier wird einfach nur das Standardverfahren zur Berechnunng der Darstellungsmatrix angewandt:
Wähle Basen in Urbild- und Bildraum (hier s_1, s_2, s_3 bzw im Bildraum die Standardbasis 1)
Berechne die Bilder der Basis des Urbildraumes unter deiner Abbildung, hier , und schreibe das Ergebnis als Linearkombination der Basisvektoren des Bildraumes. Der letzte Schritt ist hier trivial, weil die Basis eben die 1 ist.
Jetzt kommt nur noch die definierende Eigenschaft der dualen Basis ins Spiel, nämlich
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Duale Basis, Musterlösung nicht verständlich
Zitat:
Original von URL
Hier wird einfach nur das Standardverfahren zur Berechnunng der Darstellungsmatrix angewandt:
Wähle Basen in Urbild- und Bildraum (hier s_1, s_2, s_3 bzw im Bildraum die Standardbasis 1)
Berechne die Bilder der Basis des Urbildraumes unter deiner Abbildung, hier , und schreibe das Ergebnis als Linearkombination der Basisvektoren des Bildraumes. Der letzte Schritt ist hier trivial, weil die Basis eben die 1 ist.
Jetzt kommt nur noch die definierende Eigenschaft der dualen Basis ins Spiel, nämlich


Okay, aber wenn ich jetzt das Ergebnis als Linearkombination der Basisvektoren schreibe erhalte ich doch das hier:



Wie geht es dann weiter?
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RE: Duale Basis, Musterlösung nicht verständlich
Der einzige Basisvektor, den du im Bildraum hast ist die 1.
Edit: In deiner Notation wird das zu
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Duale Basis, Musterlösung nicht verständlich
Warum denn 1?
Ich soll doch S in die Duale-Basis-Funktion einsetzten und meine alphas berechnen?
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RE: Duale Basis, Musterlösung nicht verständlich
Zitat:
Original von Mathelover
Warum denn 1?

Weil es so in der Aufgabe steht: "Dabei ist der Zielraum versehen mit [...]"

Zitat:
Ich soll doch S in die Duale-Basis-Funktion einsetzten und meine alphas berechnen?

Ja, immer einen der Basisvektoren in die gerade betrachtete Duale-Basis-Funktion, also etwa
Der Vektor ist dann die Darstellungsmatrix von bzgl. der Basis von und der Basis 1 von
 
 
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Duale Basis, Musterlösung nicht verständlich
Ich verstehe das nicht so richtig.
Wenn ich das genau so mache, wie du es sagst, dann erhalte ich folgendes:









Somit erhalte ich aber nicht für


Was mache ich denn falsch?
So komplex kann es doch nicht sein traurig
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RE: Duale Basis, Musterlösung nicht verständlich
Nein, das erhältst du nicht. Diese Gleichung



kann doch überhaupt nicht stimmen.
Links steht eine reelle Zahl, rechts ein Vektor des .
Du musst rechts die Basis des Zielraumes verwenden und ich wiederhole
Zitat:

"Dabei ist der Zielraum versehen mit [...]C={1}"
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Duale Basis, Musterlösung nicht verständlich
Ich glaube wir reden aneinander vorbei.
Der Zielraum C kommt der erst bei der Darstellungsmatrix ins Spiel und das ist ja wie du bereits gesagt hast trivial, da = 1.

Mein Problem ist, wie man auf die Werte in der Darstellungsmatrix kommt, also etwa auf

100
010
001

Ich mache doch nichts anderes, als die mir vorgegebene Gleichung zu verwenden:

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RE: Duale Basis, Musterlösung nicht verständlich
Das
Zitat:
Original von Mathelover
Der Zielraum C kommt der erst bei der Darstellungsmatrix ins Spiel und das ist ja wie du bereits gesagt hast trivial, da = 1.

Mein Problem ist, wie man auf die Werte in der Darstellungsmatrix kommt, also etwa auf

verstehe ich nicht. Ohne eine Basis im Zielraum kannst du keine Darstellungsmatrix angeben. Und C ist übrigens nicht der Zielraum, es ist die Menge der Basisvektoren des Zielraumes.

Dir ist klar, dass das
100
010
001

nicht die Darstellungsmatrix von ist?
Zitat:

Ich mache doch nichts anderes, als die mir vorgegebene Gleichung zu verwenden:
[latex]s^*_j (x) = s_j^*(\alpha_1s_1+\alpha_2s_2+\alpha_3s_3) = a_j

Du machst es eben bisher nicht!
Berechne einfach mal
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Duale Basis, Musterlösung nicht verständlich
Zitat:

Du machst es eben bisher nicht!
Berechne einfach mal





Habe einfach in die Gleichung: eingesetzt. Was bringt mir das jetzt?
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RE: Duale Basis, Musterlösung nicht verständlich
Welchen Wert hat dein (was übrigens sein sollte)
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Duale Basis, Musterlösung nicht verständlich
Tut mir leid, ich meinte .
Ich weiß nicht welchen Wert das
Ich kann mit dem Ausdruck:



leider nichts anfangen.
andere Frage: war das Einsetzten von richtig?
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RE: Duale Basis, Musterlösung nicht verständlich
Zitat:

Ich weiß nicht welchen Wert das

Das solltest du aber!
Also gut, noch ein Schritt zurück:
sind eine Basis von V. Schreib bitte mal den Vektor in der Form
.
Welchen Wert haben ?
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Duale Basis, Musterlösung nicht verständlich


Daraus folgt:

So?
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RE: Duale Basis, Musterlösung nicht verständlich
Genau.
Und das setzt du jetzt hier ein für den Fall j=1
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Duale Basis, Musterlösung nicht verständlich
Zitat:
Original von URL
Genau.
Und das setzt du jetzt hier ein für den Fall j=1


Für den Fall j=1 ergibt sich ja demnach:



Was ist mit
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RE: Duale Basis, Musterlösung nicht verständlich
Wenn du es nicht siehst, dann wieder der ausführliche Weg wie vorhin: Schreibe
in der Form
.
Welchen Wert haben ?
Dann einsetzen wie eben.
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Duale Basis, Musterlösung nicht verständlich
Also

Daraus folgt:

eingesetzt für den Fall j=1:

?

Das wäre aber schon falsch, da (1 0 0) raus kommen muss.

edit// die Gleichung heißt ja in dem Fall

Also wäre die richtige Lösung dann ?
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RE: Duale Basis, Musterlösung nicht verständlich
In der Tat. Jetzt noch für und du wirst die 1 0 0 gefunden haben.
Und dann das ganze nochmal für j=2 und j=3
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Duale Basis, Musterlösung nicht verständlich
Ich danke dir vielmals URL Freude Freude Freude
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RE: Duale Basis, Musterlösung nicht verständlich
Gern geschehen smile
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