Vektoren mit Winkel

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M1 Auf diesen Beitrag antworten »
Vektoren mit Winkel
Meine Frage:
Hallo guten Tag ich habe gerade probleme bei dieser Aufgabe:

Gegeben sei der Vektor:

v1 =

(a) Wieviele Vektoren mit Länge 1 gibt es, die mit v~1 einen Winkel von pi/6 einschließen? Berechnen Sie diese Vektoren.
(b) Geben Sie alle Vektoren an, die auf v~1
senkrecht stehen.

Meine Ideen:
Hat jemand tipps wie ich bei der a) vorgehen soll?
Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektoren
Ich weiß nicht, was hier der optimale Lösungsweg ist. Aber folgende Fragen könnten dir helfen:

* Was muss für ein Vektor (a,b) gelten, damit es die Länge 1 hat?
* Was muss für ein Vektor (a,b) gelten, damit es mit dem gegebenen Vektor einen Winkel pi/6 einschließt?
* Wie kannst du beide Bedingungen verbinden?
 
 
M1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du einen kleinen Ansatz für mich bei der a?

Habe im Moment ein wenig Probleme zu beginnen . Big Laugh
Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »

Ich möchte dir ungern eine Lösung präsentieren. Insofern: Sage uns doch, welche Ansätze / Ideen du schon hattest. Und wenn du keine Ansätze haben solltest, dann sag uns, was du nicht verstehst.

Versuche dir mal die Vektoren der Aufgabe vorzustellen. Dann solltest du auch die Antwort auf die Frage "Wieviele Vektoren mit Länge 1 gibt es, die mit v~1 einen Winkel von pi/6 einschließen?" kennen...
M1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe da ein wenig Probleme mir das so vorzustellen , daher habe ich auch die Frage gepostet.
Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »

Dann werden dir folgende Fragen helfen:

* Die Menge aller Vektoren mit Länge 1 in der Ebene, was für ein Gebilde formen sie?
* Die Menge aller Vektoren, die mit einem Vektor den Winkel 30° einschließen: Wie viele gibt es?
* Wie sieht die Schnittmenge beider Mengen / Gebilde in der Ebene aus?
M1 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Menge aller Vektoren mit Länge 1 in der Ebene, was für ein Gebilde formen sie?

Gerade ?
* Die Menge aller Vektoren, die mit einem Vektor den Winkel 30° einschließen: Wie viele gibt es?

1
Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von M1
Die Menge aller Vektoren mit Länge 1 in der Ebene, was für ein Gebilde formen sie?

Gerade?


Denke daran, dass alle Vektoren beim Nullpunkt beginnen. Das Gebilde ist der Kreis mit Radius 1 um den Nullpunkt...

Zitat:

* Die Menge aller Vektoren, die mit einem Vektor den Winkel 30° einschließen: Wie viele gibt es?

1


Obige Frage war sinnlos, sorry... Ich hätte fragen müssen, welches Gebilde diese Vektoren bilden. Es sind unendlich viele Vektoren (die Länge des Vektors ist ja beliebig) und du hast zwei Strahlen, welche vom Nullpunkt ausgehen.

So, nun kannst du das Ganze versuchen zu skizzieren. Zeichne den Einheitskreis (= Menge aller Vektoren mit Länge 1) und den gegebenen Vektor . Zeichne zwei Strahlen, die vom Nullpunkt ausgehen und die mit den Winkel 30° einschließen (auf jeder Seite gibt es zwei Strahlen). Die Schnittpunkte zwischen Strahl und Kreis suchst du... Mit dieser Skizze solltest du eine Vorstellung von der Aufgabe haben...
Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »

.
M1 Auf diesen Beitrag antworten »

Um den Schnittpunkt zu berechnen müsste ich doch irgendwie 2 Gleichungen gleichstellen oder ?
Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von M1
Um den Schnittpunkt zu berechnen müsste ich doch irgendwie 2 Gleichungen gleichstellen oder ?


Besser gesagt: Du musst ein Gleichungssystem lösen.

Nun kommen wir wieder zu den obigen Fragen:

(1) Was muss für ein Vektor (a,b) gelten, damit es die Länge 1 hat?
(2) Was muss für ein Vektor (a,b) gelten, damit es mit dem gegebenen Vektor einen Winkel pi/6 einschließt?

Bei (1): Du weißt ja jetzt, dass (a,b) Vektoren im Einheitskreis sind. Welche Gleichung gilt für a und b?

Bei (2): Schau hier, wie ihr den Winkel definiert habt...
M1 Auf diesen Beitrag antworten »

(1) Was muss für ein Vektor (a,b) gelten, damit es die Länge 1 hat?
= 1


zu 2 das?

= pi/6
Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von M1
(1) Was muss für ein Vektor (a,b) gelten, damit es die Länge 1 hat?
= 1


zu 2 das?

= pi/6


Nein.

Zu (1): Wie ist die Länge eines Vektors (a,b) definiert? Was muss dann also für ein Vektor (a,b) gelten, damit es die Länge 1 hat?

Zu (2): Wie ist der Winkel zwischen zwei Vektoren definiert? Wenn du also einen Vektor (a,b) und einen Vektor (c,d) hast. Wie rechnet ihr den Winkel zwischen diesen beiden Vektoren aus?
M1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ich glaube ich hab es .

Müsste die länge des Vektors nicht



sein?
Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von M1
Ah ich glaube ich hab es .

Müsste die länge des Vektors nicht



sein?


Richtig Augenzwinkern , das ist die Länge von . Was ist die Länge von einem Vektor ?
M1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Stephan Kulla
Zitat:
Original von M1
Ah ich glaube ich hab es .

Müsste die länge des Vektors nicht



sein?


Richtig Augenzwinkern , das ist die Länge von . Was ist die Länge von einem Vektor ?




Aber ich versteh im moment nicht die weitere vorgehensweise genau.
Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »

Gut. Dann ist deine erste Gleichung. Genauer: Genau dann, wenn gilt, hat der Vektor die Länge 1.

Nun brauchen wir noch eine Gleichung dafür, dass der Winkel zwischen und gleich pi/6 ist. Hast du hier auch eine Gleichung?

Am Ende stellst du ein Gleichungssystem mit den zwei Gleichungen auf und löst es.
M1 Auf diesen Beitrag antworten »

|x|*|y|*cos phi


|2|*|y|*cos(pi/6) =1


Diese Gleichung nach y auflösen ?
Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »

Jop, diese Formel meinte ich. Genauer:



Setze hier und (das sind ja die beiden Vektoren, die dich interessieren). Wie du es bereits in deiner Gleichung getan hast, setze den Winkel zwischen und gleich pi/6. Vereinfache soweit wie möglich. Welche Gleichung erhältst du?
M1 Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid ich versteh jetzt grad nicht wie die Gleichung aussehen soll?
Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »

Setze mal und in ein..
M1 Auf diesen Beitrag antworten »

So ?

Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig und was erhältst du in der linken Seite der Gleichung?
M1 Auf diesen Beitrag antworten »

1,73*
Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »

Dieses Ergebnis meine ich nicht. Meine ...
Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast jetzt also die beiden Gleichungen




Dieses Gleichungssystem musst du nun lösen...
M1 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kann ich jetzt z.B die 2 Gleichung nach a auflösen ?
Da bin ich grad auf probleme gestossen.
Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »

Es reicht, wenn du eine Gleichung nach a auflöst und dies in der zweiten Gleichung einsetzt.
M1 Auf diesen Beitrag antworten »

Big Laugh kannst du mir erklären wie ich die 2te Gleichung nach a auflösen kann ?

Hab da so meine Probleme gerade.
Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »

Was hast du den bisher probiert? Wie weit bist du gekommen?
M1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Stephan Kulla
Du hast jetzt also die beiden Gleichungen




Dieses Gleichungssystem musst du nun lösen...




Soll ich hier das a ausklammern ?
Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »

Am besten beide Seiten quadrieren...
M1 Auf diesen Beitrag antworten »





In 1 Gleichung einsetzen:



Wie gehe ich weiter vor ?

Ich habe doch keinen Wert für b?
Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »

Die linke Seite kannst du ausrechnen. Dann würde ich nach umstellen (also, dass dieser Term auf einer Seite alleine steht) und dann beide Seiten quadrieren...
M1 Auf diesen Beitrag antworten »





quadrieren:




Was kann ich als nächstes machen?
M1 Auf diesen Beitrag antworten »







Was muss ich jetzt noch genau machen ?
Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:




Diese Gleichung ist nicht ganz richtig. Es ist nämlich . Denke hier an die binomischen Formeln. Insbesondere .

Tipp: (wenn du mit gerundeten Werten rechnest, dann musst du ausreichend viele Nachkommastellen mitnehmen... Du hast nur mit 1.73 und nicht mit 1.7320508075... weitergerechnet. Dadurch erhältst du zum Schluss 2.99 und nicht 3...)
Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von M1






Was muss ich jetzt noch genau machen ?


Ein weiterer Tipp: Denk daran, dass du bei quadratischen Gleichungen in der Regel zwei Lösungen bekommst (am Ende wollen wir ja auch zwei Schnittpunkte berechnen). Siehe p-q-Formel, diese wirst du nämlich noch brauchen.
M1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja tut mir leid hatte ich vergessen , das b +- natürlich .Aber wie gehe ich weiter vor ?
Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »

Berücksichtige erst einmal diesen Hinweis:

Zitat:
Original von Stephan Kulla
Zitat:




Diese Gleichung ist nicht ganz richtig. Es ist nämlich . Denke hier an die binomischen Formeln. Insbesondere .

Tipp: (wenn du mit gerundeten Werten rechnest, dann musst du ausreichend viele Nachkommastellen mitnehmen... Du hast nur mit 1.73 und nicht mit 1.7320508075... weitergerechnet. Dadurch erhältst du zum Schluss 2.99 und nicht 3...)
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