Gleichheit von Mengen

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Hammy27 Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichheit von Mengen
Hallo zusammen

habe heute (Semesterstart) folgende Aufgabe erhalten:



Zeigen Sie, dass B = C (Zeichnungen sind kein Beweis).

Kann mir hier jemand helfen? Ich habe mir überlegt dass ja sowohl Durschnitt, Vereinigung und zuletzt auch Differenz gleich gross sind und das somit bewiesen ist. Oder bin ich da auf dem Holzweg?

Gruss
Hammy
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Das sind schöne Überlegegungen, aber das ist leider kein formaler Beweis.

Ich nehme mal an, dass die Aufgabe etwas anders formuliert ist und die gegebenen Schnitt- und Vereinigungsmengen als Voraussetzung dienen?

Dann soll eine Mengengleichheit gezeigt werden. Das kann man etwa so machen, dass man zuerst und anschließend zeigt. Nimm dir also mal ein . Was kannst du dann (unter Beachtung der Voraussetzung) über dieses alles sagen? Kannst du damit folgern, dass dann gelten muss?
Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichheit von Mengen
Zitat:
Original von Hammy27
Ich habe mir überlegt dass ja sowohl Durschnitt, Vereinigung und zuletzt auch Differenz gleich gross sind und das somit bewiesen ist.


Zu deiner Idee: Was meinst du damit, dass sie "gleich groß" sind? Meinst du, dass sie dieselben Elemente besitzen?! (Wenn ja, wie kannst du dies beweisen?) Wie folgt aus der obigen Tatsache die Gleichheit der Menge B und C? (die Antworten auf diese Fragen könnten dir helfen)

Ansonsten: Welche Methoden kennst du, um die Gleichheit von Mengen zu beweisen?
Hammy27 Auf diesen Beitrag antworten »

Dachte ich mir eben.

Die Aufgabe lautet leider genau so resp.

Zitat:
Seien A, B, C drei Menegen, so dass



Zeigen Sie, dass B = C (Zeichnungen sind kein Beweis).


Andernseits könnte ich ja einfach davon ausgehen dass B eine Teilmenge von C ist und das am Schluss dann bestätigen?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Davon ausgehen, dass B eine Teilmenge von C ist solltest du nicht, das sollst du im ersten Schritt ja gerade zeigen.
Hammy27 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, hab zu schnell gelesen. Schon einmal danke für die ersten Hinweise. Soweit ist mir das eigentlich klar.

Ich habe mir mal soweit überlegt dass das x ja ein Element von A und B ist und entweder in A oder b enthalten ist. Somit ist es in der Schnittmenge von A und B und wenn es nicht in A ist, dann in B enthalten (ist das logisch?). Das selbe gilt ja auch für jedes x in A und C. Somit ist das x ja in B sowie C enthalten. Nur wie schreibe ich das auf?

(Sorry, hab nach einigen Jahren Unterbruch wieder zu studieren begonnen und bin im Moment noch etwas überfordert)
 
 
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Dann bringen wir da doch mal etwas Ordnung rein. Augenzwinkern

Sei . Wir wollen jetzt zeigen, dass dann auch gilt. Das werden wir mit einem Widerspruchsbeweis machen, d.h. wir gehen davon aus, dass ist.

Nehmen wir uns die rechte Voraussetzung einmal vor, es gilt ja . Wenn wir uns das angucken, was können wir über sagen (jetzt nur unter der Annahme , die andere Voraussetzung verwenden wir erst im nächsten Schritt).
Hammy27 Auf diesen Beitrag antworten »

Herzlichen Dank schon Mal dass du mir hilfst smile

Ich hätte ja gesagt dass wenn:

und wir ja definiert haben dass , dann bedeutet dass ja auch, dass ? Und somit dann , was wir ja eigentlich verneinen wollen?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hammy27
und wir ja definiert haben dass , dann bedeutet dass ja auch, dass ?


Dann bleiben wir mal bei der Schlussfolgerung, wie kommst du darauf? Warum sollte sein? Bedenke, dass das "oder" in der Mathematik kein "entweder...oder" ist.
Hammy27 Auf diesen Beitrag antworten »

Wohl genau wegen diesem fälschlicherweise angenommenen "entweder oder". Aber es ist ja so, dass damit ja nur die beiden Mengen A und B resp. A und C zusammengeführt werden.

Ich probier nochmals was. Da

und heisst das doch auch, dass . Und dann folglich auch dass ?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt es in der Tat. Jetzt kommt unsere Voraussetzung ins Spiel: es ist . Jetzt haben wir angenommen, dass ist...was sagt uns dann diese Gleichung?
Hammy27 Auf diesen Beitrag antworten »

Das heisst ja dann, dass . Da ist aber auch ? Da aber kann x auch nicht in enthalten sein, was ja wiedersprüchlich ist da x in A enthalten ist?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hammy27
Das heisst ja dann, dass . Da ist aber auch ?

Soweit kann ich dem zustimmen. Freude

Zitat:
Original von Hammy27
Da aber kann x auch nicht in enthalten sein, was ja wiedersprüchlich ist da x in A enthalten ist?


Da würde ich nochmal genau nachschauen. Warum sollte bloß weil ist? Es reicht ja, wenn in einer der beiden ist.

Wir haben also , damit solltest du weiterarbeiten und einen Widerspruch finden.
Hammy27 Auf diesen Beitrag antworten »

Was etwas schnell. Das heisst dann ja auch, dass . Hier gibts dann wohl ein Problem da wir gesagt haben dass , richtig?

//Hatte das Zeichen falsch. Wir sind nun glaub ich soweit dass wir gesagt haben dass x sowohl in A als auch in B enthalten ist. Da es aber nicht in C enthalten ist, aber ein Element des Durchschnitt von A und C ist, haben wir ein Problem, da es in beiden Mengen enthalten sein sollte!
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hammy27
Was etwas schnell. Das heisst dann ja auch, dass . Hier gibts dann wohl ein Problem da wir gesagt haben dass , richtig?


Der Gedanke geht in die richtige Richtung. Mir fällt aber gerade ein Fehler bei meinem Beitrag oben auf.

Zitat:
Original von Hammy27
Da ist aber auch


Das ist so zunächst nicht richtig, stimmt nicht immer sondern nur die Umkehrung. Das hatte ich in deinem Zitat übersehen. Wir gehen also noch einmal einen Schritt zurück: wir sind bei und .

Jetzt guck dir einmal die andere Voraussetzung an, die haben wir bisher ja noch gar nicht eingebracht. Was lässt sich damit sagen?
Hammy27 Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du mir nochmals erklären wie wir auf gekommen sind? Ich glaube das hatte ich fälschlicherweise einfach angenommen, resp. so hingeschrieben.

Ich gehe nochmals von vorne los:


Da sowie .
Somit gilt aber auch:
sowie .

Da und haben wir hier doch ein Problem da damit dieser Audruck stimmt, gelten müsste: ?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Wir wissen: . Da nach Voraussetzung ist also auch . Da wir annehmen, dass , muss also sein (damit gilt).

Du hast noch einen kleinen Fehler drin. gilt eben nicht, da musst du anders argumentieren. Aber du weißt ja, dass und ist, also...
Hammy27 Auf diesen Beitrag antworten »

?

Somit dann aber auch

. Damit hätten wir wieder das Problem dass eine Teilmenge ein x enthält, dass in der Menge C nicht enthalten sein darf? Aber noch nicht bewiesen dass B = C... hmm...

Ah moment... Da ... aber davon ausgehen dass desswegen geht wohl noch nicht... ?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, aus und folgt noch nicht direkt, dass ist. Kleines Gegenbeispiel: . Dann ist , aber .

Wenn und ist, in welcher Menge ist das dann noch enthalten? Und dann guck dir noch einmal die andere Voraussetzung an.
Hammy27 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, dann ist x noch in
sowie enthalten?
Wenn nun , dann... komm ich totzdem nicht weiter verwirrt
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Die Zahlmengen waren ja nur ein Beispiel, damit werden wir nicht weiter arbeiten.

Aber ja, damit haben wir jetzt . Jetzt sieh dir einmal unsere bisherige Argumentation noch einmal an und versuche für den nächsten Schritt die Voraussetzung einzubringen.
Hammy27 Auf diesen Beitrag antworten »

Das bitte ignorieren: Moment, da folgt ja dann eigentlich dass ?

Also . In der ersten ist x enthalten da es ein Element beider Mengen ist. Diese müsste aber ja eigentlich der zweiten entsprechen wo c aber nicht enthalten ist da kein Element von C.
MatheMaster_93 Auf diesen Beitrag antworten »

Was du wissen musst:
Ist ein Element im Schnitt beliebig vieler Mengen, so ist schon in jeder einzelnen enthalten.
Ist ein Element in der Vereinigung beliebig vieler Mengen, so ist es in wenigstens einer enthalten.
Noch ein Tipp: Aus Symmetriegründen musst du HIER nur eine Inklusion zeigen - die andere ergibt sich durch Vertauschen der Buchstaben :-)
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, du meinst das richtig. Versuch die bisherige Argumentation einmal zusammenzufassen und jeden Schritt möglichst genau zu begründen. Wenn ich deinen letzten Post richtig verstehe, dann solltest du eigentlich fertig sein.
Hammy27 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hammy27

Da sowie .


Wir haben weiter gezeigt, dass


Da nun


Der Durchschnitt zweier Mengen lautet jedoch per Definition:


Somit kann unsere Grundannahme von verworfen werden und wir haben gezeigt dass . Daraus folgt dann aber auch dass


Nun zur Überleitung zu . Dafür müssen wir ja zeigen dass , was wir ja gezeigt haben und zudem gilt .

Somit gilt
und unsere Beweisführung ist hiermit abgeschlossen.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hammy27
Da nun


An dieser Stelle solltest du noch die Voraussetzung einbringen.

Zitat:
Original von Hammy27
Somit kann unsere Grundannahme von verworfen werden und wir haben gezeigt dass . Daraus folgt dann aber auch dass



Da würde ich anders argumentieren. Wir sind ausgegangen von und haben daraus gefolgert, dass gelten muss. Das ist ein Widerspruch, also muss unsere Annahme falsch sein.

Also ist .
Hammy27 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Aber stimmt meine letzte Folgerung resp warum können wir uns sicher sein dass stimmt?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ist damit nachgewiesen.

Die Beweisführung ist aber noch nicht abgeschlossen, streng genommen müssen wir noch die andere Mengeninklusigion zeigen. Das kann man sich aber mit einem kleinen Zusatzargument sparen (oder zur Übung der Schritte auch noch einmal machen).
Hammy27 Auf diesen Beitrag antworten »

Gott danke!

Das würde dann bedeuten, dass wir um zu beweisen davon ausgehen, dass ? Was für ein Zusatzargument sprichst du an? verwirrt
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Beim Nachweis von würde sich nur die Reihenfolge der Buchstaben ändern, der Rest verläuft "analog". Es wäre aber eine gute Übung, wenn du den Beweis dafür auch noch einmal aufschreibst, dann sollten die Schritte auch alle noch einmal klar werden (und du wirst am Ende sehen, dass es wirklich "analog" ist).
Hammy27 Auf diesen Beitrag antworten »

Wir zeigen durch Widerspruch dass und definieren .
Da
. Da .
Da wir jedoch definiert haben, dass . Somit gilt: .
Da haben wir gezeigt dass .
Nun gilt: . Dadurch dass wir vorhin bereits gezeigt haben, dass folgt nun, dass.

So ungefähr?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ein paar kleinere, formale Schwächen, aber ansonsten stimmt es! Freude
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Alternative: Nicht elementweise betrachten, sondern die Rechenregeln mit Mengen nutzend umformen



.

Da beide nach Voraussetzung leer sind, folgt durch Vereinigung , also . Mit vertauschten Rollen erhält man genauso .
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