Orthogonale Ebenen

16.09.2014, 20:48

Stuhrmann

Orthogonale Ebenen

Meine Frage:
Gegeben sind zwei Ebenen $\begin{eqnarray*} E_{1} : x_{1} + 4x_{2} + 8x_{3} = 18 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} E_{2} : -8x_{1} + 4x_{2} - x_{3} = 18 \end{eqnarray*}$ . Gib die Gleichung einer Ebenen $\begin{eqnarray*} E_{3} \end{eqnarray*}$ in Koordinatenform an, die sowohl zu $\begin{eqnarray*} E_{1} \end{eqnarray*}$ als auch zu $\begin{eqnarray*} E_{2} \end{eqnarray*}$ orthogonal ist und den Punkt $\begin{eqnarray*} S \left(-2,1,2 \right) \end{eqnarray*}$ enthält.

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} E_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E_{2} \end{eqnarray*}$ sind doch schon orthogonal zu einander. Es kann doch keine weitere Ebene geben, die zu beiden auch orthogonal ist. Was verstehe ich nicht. Die Lösung lautet: $\begin{eqnarray*} E_{3} : -4x_{1} - 7x_{2} + 4x_{3} = 9 \end{eqnarray*}$ . Wie komme ich dort hin? Vielen Dank im Voraus.

16.09.2014, 20:55

Stuhrmann

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RE: Orthogonale Ebenen
Es gibt doch eine weiter orthogonale Ebene. Dies ist mir nun klar. Aber der Lösungsweg macht mir Probleme

16.09.2014, 21:12

opi

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Das Kreuzprodukt der Normalenvektoren der gegebenen Ebenen liefert rasch einen zu beiden senkrecht stehenden Vektor.

Zitat:

Es gibt doch eine weiter orthogonale Ebene. Dies ist mir nun klar.

Hilfreich ist gelegentlich ein Blick in eine Zimmerecke. Die Wände stehen senkrecht zueinander, und die Decke zu beiden ebenfalls.

16.09.2014, 21:31