Gleiche Eigenwerte |
17.09.2014, 08:25 | Haevelin | Auf diesen Beitrag antworten » |
Gleiche Eigenwerte |
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17.09.2014, 09:01 | bijektion | Auf diesen Beitrag antworten » |
In der Aufgabe 16 des Übergangsmarathon wird eine Aussage bewiesen, die deine Behauptung impliziert |
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17.09.2014, 09:49 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo, hier noch eine Alternative: Schaue dir zu einem Eigenvektor x von AB mal an, was BA mit Bx macht. Du musst dann bloß noch etwas aufpassen, wenn Bx = 0. |
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17.09.2014, 11:09 | Haevelin | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also AB x = l*x Dann: B A B * x = l*B*x und jetzt rechts mit B^-1 multiplizieren führt auf B A * x = l*x; man muss lediglich gewährleisten, dass B invertierbar ist. Ist das eine Lösung? |
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17.09.2014, 12:15 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wozu mit B^-1 multiplizieren? Du hast doch damit nachgerechnet, dass Bx ein Eigenvektor von BA zum selben Eigenwert ist. Es muss ja auch B überhaupt nicht invertierbar sein. Was machen wir aber nun, wenn Bx = 0 ? Eigenvektoren müssen ja per Definition ungleich 0 sein. |
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17.09.2014, 15:05 | Haevelin | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wenn B*x ein Eigenvektor von A*B ist, dann ist er ja automatisch ungleich 0, da, wie du schreibst, Eigenvektoren ungleich 0 sind. |
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17.09.2014, 15:39 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Bx ist aber kein Eigenvektor von AB, sondern x. |
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17.09.2014, 16:07 | Haevelin | Auf diesen Beitrag antworten » |
Aber Bx ist ein Eigenvektor von BA oder? |
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17.09.2014, 16:10 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich wiederhole mich. Nur wenn Bx ungleich 0 ist. Was machst du, wenn Bx = 0? |
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18.09.2014, 12:52 | Haevelin | Auf diesen Beitrag antworten » |
Keine Ahnung |
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18.09.2014, 13:45 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Fassen wir mal zusammen, was du bis jetzt hast. Ich glaube nämlich, dass dein Aufschreibstil dafür nicht besonders förderlich war und dir das selbst garnicht klar ist. Ist ein Eigenwert von , dann gibt es mit . Daraus folgt , da sonst . Also ist ein Eigenvektor zum Eigenwert von , denn . Analog folgt natürlich, dass Eigenwerte von , die nicht Null sind, auch Eigenwerte von sind. Es bleibt also zu zeigen, dass, wenn den Eigenwert hat, dieses dann auch für gilt und umgekehrt. Das geht mit einem anderen Ansatz. Denk dran, dass der Eigenwert etwas spezieller ist, als alle anderen und etwas bestimmtes über deine Matrix aussagt. Dazu werde ich aber sonst nichts mehr sagen, weil ich finde, dass du bis jetzt noch nicht so viel selber geleistet hast und das auch der einfachere Teil ist. |
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