Unterräume prüfen

Neue Frage »

halbprinz Auf diesen Beitrag antworten »
Unterräume prüfen
Hallo,

ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter, wo ich bestimmen soll ob es Unterräume sind oder nicht. Ich weiß, dass der Nullvektor, Addition und Multiplikation mit einem Skalar wieder im Vektorraum sein müssen, nur wie soll ich das bei in dieser Form gegebenen Unterraum prüfen?

Aufgabe ist im Anhang.

MfG
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Dann beginne doch mal mit (a). Welches sind denn die drei Axiome die du überprüfen musst?
Etwa: Sind , dann auch .
halbprinz Auf diesen Beitrag antworten »

Die 3 Axiome sind folgende:
(1) Nullvektor ∈ U
(2) Sind zwei Vektoren u,v Elemente von U, dann auch ihre Summe
u+v.
(3) Ist ein Vektor v Element von U, dann auch alle seine skalaren Viel-
fachen rv, r ∈ K.

Ich versuche es jetzt einfach mal, also gehe ich davon aus ist auch im Unterraum enthalten, weil di Bedingung immer noch erfüllt ist, genauso wie die Multiplikation mit einem skalaren Vielfachen. Nur wie kann ich das anschaulich zeigen?
halbprinz Auf diesen Beitrag antworten »

Niemand der mir helfen kann? Ich komm wirklich nicht weiter :/
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Die Axiome stimmen, aber ich sehe nicht, wo Du sie überprüft hast.
Nehmen wir mal das einfache Beispiel
Diese Menge ist ein Unterraum, denn es gilt:

(1) Für f(x)=0 ist f(0)=0

(2) Sind f und g aus M, dann ist (f+g)(0)=f(0)+g(0)=0+0=0.
Also ist f+g ebenfalls in M

(3) Ist f aus M und k aus K, dann gilt
Also ist auch kf in M

So ähnlich musst Du auch bei deinen Aufgaben vorgehen. Solltest Du der Meinung sein, dass kein Unterraum vorliegt, dann reicht auch ein Beispiel, dass eines der drei Kriterien nicht erfüllt. (z.B. ist kein Unterraum, da f(x)=x+1 enthalten ist, aber nicht (2f)(x)=2x+2.)
halbprinz Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuchs nochmal.

1) Wie prüf ich das nach?

2) (f+g)(x) = 2f(0)+f(1)-f(1/2) + 2g(0)+g(1)-g(1/2) = 0 + 0 = 0
Gilt dies als Beweis?

3) (kf)(x) = k*f(0)+k*f(1)-k*f(1/2) = 0
Auch hier, kann man das als Beweis gelten lassen? Wenn ich überall ein Skalar multipliziere ist es ja trotzdem noch 0?

Bei b und d würde ich das ganze gleich machen und komme drauf, dass es auch ein UVR ist. Bei c) weiß ich nicht so ganz wie ich dabei die f+g machen soll? Kann mir jemand helfen?
 
 
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde bei beiden noch einen Zwischenschritt einbauen, um bei (2) die erste Gleichheit zu konkretisieren und bei (3) die zweite. (Ausklammern)

Bei 1) musst Du überprüfen, ob f(x)=0 in der Menge enthalten ist, oder nicht.

Bei b) machst Du sicherlich einen Fehler, denn es ist kein Unterraum.

Bei c) bin ich über die Definition etwas irritiert. Die Vorraussetzung ist ja schon nicht gegeben.

d) ist richtig, der Raum lässt sich anders darstellen, so dass der Nachweis einfacher ist.
halbprinz Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich dann bei a) für 1) überhaupt eine Aussage machen? Ich weiß ja nicht, ob es ein x gibt, für das f(x) = 0 gilt?

Bei 2) versteh ich leider nicht welchen Zwischenschritt du meinst :/

3) (kf)(x) = k*(f(0)+f(1)-f(1/2)) = k*0 = 0

Hast Du oder sonst jemand eventuell einen Tipp, wie man das Ganze ohne konkreten Beweis sehen kann? Bei der Klausur muss ich das nicht explizit beweisen, es reicht die richtigen Antworten zu kreuzen und wenn ich denke wie lange ich hier schon brauche dann könnte es mit der Zeit knapp werden.

b)

1) Auch hier weiß ich leider nicht weiter :/

2) (f+g)(x) = f(1)^2 - f(2)^2 + g(1)^2 - g(2)^2 = 0 + 0 = 0
(Hier fehlt wahrscheinlich auch wieder der Zwischenschritt)

3) (kf)(x) = k * (f(1)^2 - f(2)^2) = k * 0 = 0

Es tut mir wirklich Leid wie blöd ich mich hier anstelle, aber ich steh wirklich auf dem Schlauch :/
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Langsam gewinne ich den Eindruck, dass Du ein größeres Problem damit hast, dich in andere Vektorräume als zu bewegen.

Also: Welche Funktion ist denn der Nullvektor? Anders gefragt: Welche Funktion kannst Du zu jeder anderen addieren, ohne die Funktion zu verändern?
Dies ist die Funktion, die in jedem Vektorraum (also auch Unterraum) enthalten sein muss. Deshalb prüft man, ob genau diese Funktion in dem zu betrachtenden Raum liegt, oder eben nicht.

Dein Hinweis und die Behandlung der anderen Aufgaben zeigt zudem, dass Dir nicht klar ist, wie die Summe zweier Funktionen definiert ist. Wenn h=f+g ist, wie berechnet man dann h(x) und wie h²(x)?
halbprinz Auf diesen Beitrag antworten »

Da wirst Du wohl Recht haben, habe die Sachen in dieser Form auch nicht behandelt, von daher muss ich mir die Informationen aus dem Internet holen und das ist leider nicht so einfach.


Meinst du die Nullfunktion: f(x) = 0

Die Summe sieht doch so aus: h(x) = f(x) + g(x)
h^2(x) = (f(x) + g(x)) * (f(x) + g(x))

Mir fehlt einfach ein ähnliches Beispiel, kann mir einfach nichts darunter vorstellen, habe Unterräume immer nur mit Vektoren und nie mit Funktionen geprüft. Ist egal, trotzdem danke für die Hilfe, aber ich lasse es nun besser sein.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist nichts anderes als eine binomische Formel: (h(x))² = (f(x) + g(x))²=(f(x))²+2f(x)g(x)+(g(x))²
Genau deshalb klappt dein Beweis oben auch nicht.

Zum Thema Nullfunktion: Genau das ist der Nullvektor des Funktionsraums und dessen Vorhandensein musst Du für die vier Mengen prüfen.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »