Zeigen, dass ein Ringelement kein Primelement ist.

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MartinL Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen, dass ein Ringelement kein Primelement ist.
Moin,

auch wenn der Ring hier im Forum schon in Bezug zu einem anderen Problem behandelt wird, eröffne ich doch einmal einen neuen Thread zu einem neuen Thema.

Aufgabe:
Betrachte den Ring . Elemente in diesem Ring haben die Form für .

Ich weiß schon, dass für die Einheiten im Ring gilt

Jetzt soll ich zeigen, sind irreduzible, paarweise nicht assoziierte Elemente, welche keine Primelemente sind.

Lösung:
Irreduzibilität hab ich am Ende des anderen Rings schon gezeigt aber dort geht es um Einheiten und deshalb habe ich mich entschieden, ein neues Thema zu eröffnen. Falls das falsch war, bitte ich darum, die Themen einfach zusammenzuführen smile .

Um zu zeigen, dass die Elemente nicht paarweise assoziiert sind, habe ich einfach jedes Element mit allen beiden Einheiten multipliziert und man sieht, dass bei der Multiplikation mit 1 und -1 nicht wieder die oben aufgeführten 3 Elemente herauskommen. Jetzt geht es darum zu zeigen, dass es keine Primelemente sind.

Dazu habe ich folgende Definition:
q ist primelement, falls

Ich könnte jetzt versuchen, zwei Elemente im Ring zu suchen, deren Produkt von den irreduziblen Elementen geteilt wird, ohne dass die einzelnen Faktoren geteilt werden. Das scheint mir aber sehr ziellos zu sein. Eine weitere Idee habe ich aber leider nicht.

Gruß
Martin
MatheMaster_93 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Martin,

das ist der absolut korrekte Weg. Aber berechne doch mal
MartinL Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, das ist so ein Produkt. Das ergibt -9 und aber die beiden Faktoren werden von 3 nicht geteilt. Damit ist 3 also kein Primelement. Die Frage ist, wie ich mir das für die beiden anderen konsturiere. Mir fällt irgendwie kein zielgerichteter Weg ein. Man kann ja alles mögliche multiplizieren aber wie genau finde ich ein Produkt, welches zwar durch eins der Elemente teilbar ist, ohne, dass die Faktoren teilbar sind?

Gruß
Martin
MatheMaster_93 Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben damit gezeigt, dass 3 prim ist.

Aber genau so geht es doch mit und .
Es gilt doch , teilt 9 aber weder 3 noch 3., also ist nicht prim, für gilt dasselbe.

Zur Vorgehensweise:
Du hast entweder die Möglichkeit, ein Produkt aus ganzen Zahlen zu bilden, dann teilt aber jede ganze Zahl, die das Produkt teilt bereits einen Faktor (klar, oder?). Oder Du kannst ein Produkt aus den Termen bilden und wieder teilt jede mindestens einen Faktor, falls es das Produkt (das von der Form ist) teilt.
Interessant wird es, wenn für diese Produkt f=0 gilt, also ganz ist. Dann wird kein die Zahl teilen (auch ne Überlegung wert). Und das ist laut binomischer Formel der Fall, wenn wir rechnen, das fliegt die Wurzel raus und wir werden ganz. Und genau das haben wir in dieser Aufgabe auch gemacht.

MM
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Übrigens: Wenn wir die Gleichung mit irreduziblen Faktoren haben, und schon gezeigt haben, dass nicht prim sind (Hier bei uns ), dann folgt automatisch, dass nicht prim sind.

Dazu muss man sich nur mal den Beweis der eindeutigen Primfaktorzerlegung anschauen und bemerken, dass man nur von Faktoren einer Seite benutzt, dass es Primfaktoren sind, während bei den anderen die Irreduzibilität benutzt wird.

Angenommen prim: Dann haben wir , also o.B.d.A . Da irreduzibel ist, folgt schon (bis auf Einheiten), was nicht sein kann, da ja nicht prim ist.

Und noch was:

Man kann den Faktorring auch einfach ausrechnen:

Das geht bei 3 sehr leicht:

, kein Integritätsbereich.

Bei ähnlich:

, kein Integritätsbereich.

Hier sieht man auch direkt wie sich die Tatsache, dass a=b war, auf die Struktur des Faktorrings auswirkt: Es gibt nilpotente Elemente.
MartinL Auf diesen Beitrag antworten »

@MatheMaster_93, stimmt, ich kann die Rechnung ja einfach umdrehen und bin fertig. Bei der Vorgehensweise ist mir allerdings noch etwas unklar. Es ist klar, dass jede ganze Zahl, die ein Produkt aus ganzen Zahlen teilt, mindestens einen Faktor teilt. Danach wirds etwas kritischer. So wie ich das verstehe, widersprichst du dir selbst. Kann aber auch sein, dass ich dich falsch verstanden habe. Ich verstehe es so:

Ich kann ein Produkt aus Termen bilden und jeder Term , welcher das Produkt teilt, teilt auch wieder einen Faktor, so lange, wie im Produkt f nicht 0 ist.

Falls aber dieses f = 0 ist, dann teilt kein die Zahl. Aber ich finde doch solche Terme, die die Zahl teilen nämlich genau die, die ich auch multipliziert habe. Wenn ich mich da an die binomische Formel halte, habe ich nachher ein Produkt, welches ganz ist und trotzdem von Termen der Form ist.

@tmo stimmt, man benutzt tatsächlich nur auf der einen Seite, dass man prime Elemente hat. Das mit den Faktorringen schaue ich mir gleich mal an. Du schließt dadurch, dass es keine Integritätsbereiche sind darauf, dass dann die Zahl keine Primzahl sein kann oder? Ansonsten müsste das Ding ja zumindest ein Integritätsbereich (wenn nicht sogar ein Körper) sein. Muss ich mal drüber nachdenken.


Allgemein gefragt, gibt es eigentlich einen Grund, dass Primelemente so definiert sind, wie sie definiert sind? Also in welchem Zusammenhang macht es Sinn, dass irreduzible Elemente trotzdem nicht prim sind. Immerhin sind sie unzerlegbar (und so lernt man ja in der Schule, was Primzahlen sind). Warum hat man es bei den Ringen anders gemacht? Gibt es da einen Erklärung in 2-3 Sätzen? Ansonsten spart euch die Mühe.

Gruß
Martin
 
 
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MartinL
Allgemein gefragt, gibt es eigentlich einen Grund, dass Primelemente so definiert sind, wie sie definiert sind? Also in welchem Zusammenhang macht es Sinn, dass irreduzible Elemente trotzdem nicht prim sind. Immerhin sind sie unzerlegbar (und so lernt man ja in der Schule, was Primzahlen sind). Warum hat man es bei den Ringen anders gemacht? Gibt es da einen Erklärung in 2-3 Sätzen? Ansonsten spart euch die Mühe.


Ich nehme an das kam auf, nachdem man Ende des 19. Jahrhundert feststellen musste, dass man oft auf nicht-faktorielle Ringe trifft (z.B. gab es einen falschen Beweis (von Cauchy?) für den großen Fermat, bei dem Kummer erkannte, dass die falsche Annahme getroffen wurde, dass man eine Primfaktorzerlegung hätte). Einen gewissen Ersatz für die Zerlegung in irreduzible Elemente gibt es eben nur, wenn man statt Zahlen nun Ideale betrachtet, das wurde dann so Anfang des 20. Jahrhunderts entwickelt (Stichwort: Primärzerlegung bzw. Primidealzerlegung in Dedekindringen). Und bei Idealen ist nun eben prim der richtige Begriff. Ein Element nennt man prim, wenn das erzeugte Hauptideal prim ist und das ist dann genau die dir bekannte Definition.
MartinL Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok, also leitet sich die Definition vom Primideal her. Das macht Sinn. Eigentlich habe ich mich nämlich seit ich die Definition das erste mal gelesen habe gefragt, warum man nicht "irreduzibel" streicht und einfache bei "prim" für unzerlegbare Elemente bleibt. In den ganzen Zahlen macht das natürlich keinen Unterschied, das ist ja ein Hauptidealring und somit sind irreduzibel und prim äquivalent.

Danke sehr smile
MartinL Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, dass wir sowieso gerade bei den Primidealen sind, mit denen gehts nämlich jetzt weiter.

Ich soll zeigen, dass folgende Ideale Primideale sind:



Zuerst einmal die Definition:
ist Primideal, falls gilt:
1.
2. Für folgt aus , oder

Kein Primideal in wäre also sowas wie , da aber

Jetzt wieder zurück zu den Idealen oben. In enthalten sind alle Vielfachen von , alle Vielfachen von , die Summe der beiden Elemente, Vielfache der Summe der beiden Elemente und Summen aus Vielfachen dieser Elemente und deren Vielfache. Also eine ganze Sammlung von Elementen. Ich weiß, dass die beiden erzeugenden Elemente irreduzibel aber nicht prim sind.

Es gibt also ein Produkt, für das gilt: und und
Außerdem gibt es ein Produkt, für das gilt: und und

Also muss ich doch jetzt zeigen, dass alle Produkte ab, bei denen 3 weder a noch b teilt, von oder von der Summe der beiden Elemente oder von Vielfachen der Summe... geteilt wird.
Ich habe das Gefühl, dass das nicht der richtige Weg ist.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Deutlich einfacher ist es hier tatsächlich den Quotient zu berechnen. Das kannst du analog zu den Beispielen oben durchrechnen.

Oder etwas algebraischer: Wir wissen schon und wegen haben wir also .

Dies zeigt oder . Du musst nur noch ersteres ausschließen, d.h. zeigen (Musst du ja sowieso tun).
MartinL Auf diesen Beitrag antworten »

Den Quotient zu berechnen fällt mir schwer. Ich hab mir auch oben noch mal angeschaut was du gemacht hast aber nicht so ganz verstanden, was dabei passiert. Schon der erste Schritt, beim Wechsel von nach steige ich aus.

enthält doch alle Äquivalenzklassen, die entstehen, wenn man alle Elemente betrachtet oder? Ich sehe dann nämlich die Gleichheit zum Polynomring nicht.

Ich muss aber ehrlich sagen, dass wir das in der Vorlesung auch höchst selten mal wirklich konkret ausgerechnet haben. Es kann also sein, dass mir da Grundlagen wirklich fehlen.

Gruß
Martin
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Hier wurde einfach nur benutzt.

Wenn dir das schwer fällt, können wir es auch konkret ausrechnen:

Ein Homomorphismus ist durch gegeben.

Nachzurechnen wäre:

1) Dass es ein Homomorphismus ist.
2) Surjektivität (Einfach).
3) Dass der Kern gerade ist.

Dann hättest du auch die Isomorphie und wärst fertig.
MartinL Auf diesen Beitrag antworten »

was genau soll das eigentlich genau heißen? Heißt das, dass bei mit Elementen aus belegt werden?

Ansonsten hab ich das mit dem Homomorphismus gezeigt, sowas kann ich. Nur beim Kern fällt es mir schwer, das vernünftig aufzuschreiben.

Ich habe gezeigt:
Seien , Abbildung wie oben.




Surjektivität ist tatsächlich einfach. Mit ist ja schon jede Äquivalenzklasse schon getroffen.

Dann der Kern. Da muss ja gelten: also also kann man das auch modulo x betrachten und erhält . Da gibt es ja die Möglichkeiten. Die Frage ist jetzt, wie du von diesen vier Möglichkeiten, genau auf die zwei von dir gewählten kommst. Einfach weil die beiden irreduzible sind?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MartinL
was genau soll das eigentlich genau heißen?


Das soll erstmal nichts heißen, außer dass die beiden Ringe isomorph sind.

Zitat:
Original von MartinL
Dann der Kern. Da muss ja gelten: also also kann man das auch modulo x betrachten und erhält .


Was genau machst du da? verwirrt


Du hast ja 2 Inklusionen zu zeigen. Die eine ist sehr einfach. Und für die andere muss man halt mal ein kleinen Aufwand betreiben.
MartinL Auf diesen Beitrag antworten »

Na der Kern ist doch definiert als



Das neutrale Element bzgl. der Addition ist .
.

Aber ich hab es mir da glaub ich zu einfach gemacht.
ist ja ein Ideal und somit muss ich ja nicht nur zeigen, dass Kombinationen von den beiden erzeugenden Elementen im Kern liegen, sondern auch Produkte der Elemente mit willkürlichen Elementen aus dem Ring wieder im Kern liegen.

Ich probiers noch mal Augenzwinkern
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Wir machen mal langsam und fangen nur an zu zeigen, dass gilt. Da hast du folgendes geschrieben:

Zitat:
Original von MartinL
Aber ich hab es mir da glaub ich zu einfach gemacht.
ist ja ein Ideal und somit muss ich ja nicht nur zeigen, dass Kombinationen von den beiden erzeugenden Elementen im Kern liegen, sondern auch Produkte der Elemente mit willkürlichen Elementen aus dem Ring wieder im Kern liegen.


Und da frage ich mich, wer heutzutage Algebra lehrt, ohne das Prinzip von Erzeugern jedem seiner Studenten ins Hirn zu hämmern.

Du musst nur zeigen, dass die Erzeuger im Kern liegen (Und das ist denkbar leicht, oder?). Da der Kern ein Ideal ist, liegt dann also auch das erzeugte Ideal im Kern.
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