FM Synthese - Seite 2 |
| 26.09.2014, 10:08 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es gilt mit und Die Amplitude ergibt sich also aus der geometrischen Addition der Sinus- und Cosinus-Amplitude. Viele Grüße Steffen |
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| 27.09.2014, 09:54 | tomas7 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, also so ganz verstehe ich das nicht was genau mit den Formeln ausgedrückt wird. Aber um zu meinem Ergebnis zu kommen. Welche Zahlen muss ich denn wo einsetzen? Schönen Gruß, Tomas |
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| 27.09.2014, 11:55 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du meinst jetzt die Amplitude der Grundfrequenz? Die berechnet sich in Deinem Fall so: Viele Grüße Steffen |
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| 27.09.2014, 12:05 | tomas7 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achso. Ok. Und wozu ist da die untere Formel mit dem Tan ? Schönen Gruß, Tomas |
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| 27.09.2014, 12:29 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oft interessiert nicht nur die Amplitude, sondern auch die sogenannte Phase der Frequenzkomponenten. Und das ist hier die Zahl . Sie gibt an, um wieviel der Sinus nach links verschoben ist. Ist die Phase also 0, ist es ein "richtiger" Sinus, ist sie 90 Grad (die Phase ist ja ein Winkel), ist er um eine Viertelperiode nach links verschoben, fängt also mit dem Maximum an (entspricht also einem Cosinus). Bei 180 Grad ist es ein negativer Sinus, der zwar bei Null anfängt, aber dann nach unten geht. Und so weiter. Die Phase ist also wichtig, wenn Du irgendwann einen Sound aus Sinuswellen zusammenbasteln willst - womit wir ganz allmählich zum Synthesizer kommen... |
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| 27.09.2014, 16:32 | tomas7 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sind ja echt interessant die ganzen Rechenwege. Das heißt um die Phasenlage des Signals heraus zu kriegen, rechne ich b/a. Das ist dann die Zahl . Und daraus dann den Tangens. In Zahlen: 0,18/0,11 = 1,63 ; Tan(1,63) = 0,02 Ist das richtig so? |
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| 27.09.2014, 20:53 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, die Formel lautet doch Die Zahl ist also nicht , sondern , wie Du siehst. Um zu erhalten, musst Du noch die Umkehrfunktion des Tangens, den Arcustangens, benutzen: Der arctan versteckt sich übrigens gern oft als auf dem Taschenrechner. Viele Grüße Steffen |
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| 28.09.2014, 13:58 | tomas7 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok. Sieht der Rechenweg dann ungefähr so aus? Tan(0,18/0,11) = 58,57. Obwohl ich das Gefühl habe das das Ergebnis zu hoch ist. Hätte gedacht das die Phasenlage doch eher bei Null ist. Schönen Gruß, Tomas |
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| 28.09.2014, 17:10 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, genauso wird die Phase berechnet. Und 60 Grad ist auch durchaus, was ich erwartet hätte. Denn das Signal fängt zwar brav bei Null an und hört auch da auf. Dazwischen aber benimmt es sich ganz und gar nicht wie ein Sinus. Hochpunkt bei 0,5, Nulldurchgang bei 0,8 und Tiefpunkt bei 1,1 sind allesamt viel zu früh - die sollten sich ja eigentlich gleichmäßig verteilen. Und so ist solch ein verschobener Sinus als "Fundament" für diese Schwingung ganz brauchbar: Viele Grüße Steffen |
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| 28.09.2014, 19:45 | tomas7 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Interessant. Bedeutet, die Welle hat eine Phasenlage von 58,57° und eine Amplitude von 0,21 richtig? Haben wir damit tatsächlich den Anteil der Sinuswelle von 440Hz herausgerechnet? Was ich mich noch frage ist, wofür steht die 0,44 in der Grafik? Schönen Gruß, Tomas |
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| 28.09.2014, 20:01 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das ist Amplitude und Phase der Grundfrequenz. Die 0,44 sind die 440 Hz, aber geteilt durch 1000, damit die x-Achse in Millisekunden statt Sekunden skaliert ist. |
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| 29.09.2014, 19:09 | tomas7 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das heißt nun könnte ich die anderen Sinuswellen mit diesem Rechenweg ausrechnen und dem entsprechend in einem Synthesizer wieder zusammenführen. Mein anliegen war es ja eigentlich mittels Frequenz Modulation Klänge im Synth zu programmieren. Wenn ich dies jetzt auf unser Beispiel beziehe, wäre der Sinus mit 440Hz unser Träger ( So nennt man das bei dem Syntheseverfahren ) sprich dies wäre unsere reine Sinuswelle die mittels einer anderen Sinuswelle, welche man Modulator nennt, modelliert werden soll. Der Modulator ist im Endsignal garnicht zu hören. Man hört nur den Frequenz modellierten Träger als Endsignal. Eigentlich erübrigt sich meine Frage ob ich den Modulator nun als solchen auch ausrechnen kann, da ich es einfach mit unserem Rechenweg mal ausprobieren werde. Jetzt hab ich ihn ja. Oder fehlt da noch was? Auf jeden Fall an der Stelle schon mal ein dickes Dankeschön für die Geduld und Unterstützung. Einfach super. Ein Gemisch in seine einzelnen Sinus anteile zu zerlegen, zu wissen wie dies funktioniert, erweitert mir persönlich einfach meine Sichtweise. Tolles Forum hier. Schöne Grüße, Tomas |
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| 30.09.2014, 10:01 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oh, leider fehlt noch eine ganze Menge. Du kannst Dir jetzt die Frequenzkomponenten ausrechnen, aus denen diese Schwingung besteht. Also ein 440-Hz-Sinus mit Amplitude 0,21 und Phase 58,57°, dann ein 880-Hz-Sinus mit seiner Amplitude und Phase, dann die dritte Harmonische und so weiter. Die addierst Du alle auf und das war's. Aber ein (analoger) Synthesizer arbeitet eben anders. Der hat natürlich erst mal einen Sinus-Oszillator für 440 Hz. Nur müsste er ja auch noch jeweils einen für theoretisch alle höheren Harmonischen besitzen! Und selbst wenn wir nur zehn Oszillatoren spendieren, die alle mit ihrer Amplitude und Phase zum Signalgemisch beitragen, ist das ein Riesen-Schaltungsaufwand. Und wenn Du statt einem a' ein g' anschlägst, müssen all diese Oszillatoren mit einer entsprechend tieferen Frequenz schwingen (Amplituden und Phasen bleiben zum Glück gleich)! Ich hatte in den Siebzigern mal eine ausrangierte elektronische Orgel repariert (zum Glück war nur das Netzteil hin). Das war natürlich kein Synthesizer, bei dem Harmonische addiert wurden, aber es gab auch da eine große Platine mit vielen kleinen leuchtenden Röhrchen: jede Taste hatte einen eigenen Oszillator für die Grundfrequenz. Dann, je nach Register, noch ein paar Filter, und das war's. Hätte man nur drei höhere Harmonische draufmischen wollen, wären weitere solche drei Platinen nötig gewesen. Daher hat man sich schon früh überlegt, wie man hier Elektronik einsparen kann. Und kam, wie Du ja auch schon beschrieben hast, auf die Frequenzmodulation. Eigentlich ist das was ganz anderes, denn das Originalsignal ist ja nicht so entstanden. Eine FM ist zunächst mal ein Vibrato. Wenn Dein 440-Hz-Sinus im Sekundenrhythmus um einen Halbton rauf und runtergeht, also etwa zwischen 415 und 465 Hz schwankt, erscheinen im Spektrum plötzlich neue Linien, und zwar um die 440 Hz im 1-Hz-Abstand (1 Hz, weil's einmal pro Sekunde schwankt). Wir brauchen die Linien aber im 440-Hz-Abstand! Dies ist dann der Fall, wenn wir nicht im 1-Hz-, sondern eben im 440-Hz-Rhythmus modulieren. Dann muss nur noch Amplitude und Phase der Harmonischen stimmen. Dies wiederum ist eine Frage, wie weit die Frequenz rauf- und runtergeht und wird durch recht komplizierte Besselfunktionen beschrieben. Kennt man die, kann man die FM so einstellen, dass das Spektrum einigermaßen mit dem gewünschten übereinstimmt. So braucht man für jeden Klang nur zwei Oszillatoren: einen für die Grundfrequenz und einen zweiten für die Modulation des ersten. Und damit wird die Elektronik etwas überschaubarer. Teuer waren diese ersten Synthesizer trotzdem, leisten konnte ich mir damals leider keinen. Heute, im Zeitalter der Digitalisierung und Wavetables, wird man hier die 100 Werte Deines Klangbeispiels eher in den Speicher eines Samplers stecken und dann einfach entsprechend schnell abspielen, je nach gewünschter Note. Das kann inzwischen schon jedes bessere Handy. The times, they are... Viele Grüße Steffen |
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| 01.10.2014, 08:37 | tomas7 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, bin leider gerade auf'm Sprung und habe Deine Antwort kurz überflogen. So wie ich es nun verstanden habe, haben wir erstmal die Amplitude und Phasenlage der Grundfrequenz ( des Grundtons ) ausgerechnet. Nun könnte man so zu sagen den Modulator ausrechnen, bspw. eine ein Sinus eine Oktave höher, und mittels Besselfunktion die Intensität ausrechnen? Bin gerade etwas in Eile deshalb nur halb durchgelesen und geschrieben. Schönen Gruß, Tomas |
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| 01.10.2014, 09:51 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, es ist schwieriger. Von Deinem Signal müssen erst einmal meinetwegen zehn Harmonische berechnet werden. Dann haben wir zehn Amplituden und zehn Phasen für zehn Frequenzen im Abstand 440 Hz. Dann berechnen wir (rein mathematisch, deshalb sind wir noch nicht ganz offtopic 
) die ersten zehn Harmonischen einer 440-Hz-Sinusschwingung, die mit 440 Hz frequenzmoduliert wird. Die liegen auf jeden Fall auch schon mal bei 440Hz und den ganzzahligen Vielfachen. Wie die Amplituden und Phasen aussehen, wird vom sogenannten Frequenzhub bestimmt, also wie weit die Modulation die 440 Hz "auseinanderzieht". Wenn wir die Frequenz z.B. zwischen 330 und 550 Hz pendeln lassen, ist das ein Hub von 220Hz. Dividiert durch die "Mitte" 440Hz ergibt das die Zahl 0,5. Und das ist der x-Wert bei den Besselfunktionen, wo Du Amplitude und Phase abliest. Im Bild sind nur die Amplituden der ersten drei Besselfunktionen dargestellt, aber das reicht als Beispiel: die rote Kurve J0 (die Grundfrequenz 440Hz) hat fast den Wert 1, die grüne J1 (880Hz) ist etwa bei 0,2 und J2 bei 0,05.Nun kann man also den Frequenzhub so einstellen, dass die zehn Amplituden und Phasen ungefähr das Spektrum Deines Signals darstellen. Du siehst, das ist ein ziemliches Gefummel und bedeutet auch einige Kompromisse, aber so bekommt man eben mit wenig Aufwand den Klang einer Oboe, einer Flöte oder einer Geige einigermaßen hin. Viele Grüße Steffen |
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| 05.10.2014, 11:49 | tomas7 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, brauchte mal ein Bisschen Abstand zum Thema. Hab schon Überlegt einen Mathekurs zu machen der dort ansetzt. Gibt es das überhaupt? Nun ja. Ich fass mal kurz zusammen wie weit ich bisher gekommen bin. Und zwar: Mit den erstgenannten Rechenwegen haben wir aus einem Tongemisch die einzelnen reinen Sinusschwingungen und deren Amplitude sowie Phasenlage errechnet. Ok. Sowie ich es nun verstanden habe muß ich zunächst einmal zehn Harmonische und deren Amplituden sowie Phasenlagen berechnen. Als Grundschwingung nehme ich 440Hz. Also errechne ich auch die Harmonischen, also 880Hz, 1320Hz, 1760Hz, ...etc der Grundschwingung. So habe ich diesen Satz verstanden,
Und ab da an verstehe ich eigentlich nur noch Bahnhof. Schönen Gruß, Tomas |
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| 05.10.2014, 20:54 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast jetzt innerhalb kürzester Zeit die Fourieranalyse prinzipiell verstanden. Dafür brauchen andere Monate. Und obwohl die hier benötigten Kenntnisse manchmal nicht vorhanden waren, hast Du sie Dir sehr schnell angeeignet, einfach, weil Dich das Thema interessiert. Das beeindruckt mich sehr. Ob es einen entsprechenden Mathekurs für Dich gibt, kann ich leider nicht sagen. Vielleicht an der Volkshochschule, vielleicht als Gasthörer an der Uni. Eventuell haben andere hier dazu Tipps. Zum Thema "Bahnhof": Mit den zehn Spektralwerten hast Du nun Deinen Klang recht exakt beschrieben. Du kannst auch elf oder mehr berechnen, aber diese Amplituden sind normalerweise so klein, dass sich der Klang nicht mehr sehr ändern wird, wenn Du sie dazuaddierst. Nun hast Du sozusagen einen "Fingerabdruck" Deines Klangs. Du müsstest Deinem Synthesizer nur noch beibringen, dass er, wenn Du eine Taste drückst, einen Sinus der aktuellen Frequenz dieses Tones zusammen mit den Harmonischen in den richtigen Phasenlagen spielen soll, dann ist das genau dasselbe. Obwohl der Synth gar nicht weiß, wie das Signal mal ausgesehen hat. Solange das Spektrum (also der Fingerabdruck) stimmt, hört man keinen Unterschied. Und nun gibt es eben mit der FM-Synthese die Möglichkeit, diesen Klang vollkommen anders zu erzeugen, eben durch ein "gezieltes Vibrato" des Grundtons. Wenn man das mit Hilfe der Besselfunktionen richtig einstellt, stimmen die Spektren der ersten zehn Harmonischen so gut überein, dass unser Ohr meint, es ist derselbe Klang. Und man braucht nur noch das Vibrato, man muss keine neun Harmonischen erzeugen. Das ist eigentlich alles. Viele Grüße Steffen |
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| 11.10.2014, 14:26 | tomas7 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, nach längerer Pause mal wieder im Thema. Erstmal muss ich sagen es freut mich zu hören das ich mit meinem Verständnis für die Sache wohl auf dem richtigen Weg bin. Klar habe ich hier und da noch Verständnislücken dies liegt wohl auch daran das mir dort das nötige Fundament fehlt. Ich muss zu geben in letzter Zeit fand ich es doch sehr anstrengend und schwerfällig das alles zu verstehen. Trotz allem würde ich das Thema gerne zum Ende bringen. Wenn es denn möglich ist. Die Erfahrungen die du mit der Orgelreparatur hattest klingen ja auch sehr interessant. Ich stelle es mir sehr spannend vor auf eine Platine zu schauen und genau zu wissen welches Bauteil was für einen Einfluss auf das Signal hat. Und Du hast Recht. Man könnte auch ein Instrument Sampeln und es dann auf dem Keyboard spielen. Was ich allerdings wunderbar bei der FM Synthese finde ist die Möglichkeit die Intensität des Modulators auf den Träger mittels einer Hüllkurve oder einer anderen Modulationsquelle zu regeln. Dies ergibt einen einzigartigen Klangverlauf den man mit, meiner Meinung nach, Filtern oder Samples so nicht hinkriegt. Und nebenbei hat man den Effekt ein tieferes Verständnis für Geräusche/Töne/Klänge und die Bedeutung derer Obertöne zu kriegen. Und nun nochmal zur Rechnung. Ich habe jetzt die Amplitude und die Phasenlage der ersten zehn Harmonischen im Abstand von 440Hz berechnet. Herausgekommen sind diese Werte: [attach]35669[/attach] Wie es jetzt weiter geht habe ich nicht verstanden. Du hattest ja als nächsten Schritt geschrieben:
Wie sieht das in der Praxis aus? Schönen Gruß, Tomas |
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| 11.10.2014, 22:16 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe mal Deine ersten vier Harmonischen zu einem Signal zusammengefasst: So richtig ähnlich sieht's noch nicht aus, aber eventuell müssen auch noch weitere Harmonische dazu. Und die sind bestimmt nicht alle Null, da dürfte noch einiges in der dritten Nachkommastelle stecken. Und nun versucht man mit der FM-Synthese, dasselbe Spektrum zu erhalten. Wenn man die 440Hz nämlich mit 440Hz frequenzmoduliert, entstehen ebenfalls Harmonische bei den Frequenzen 880Hz, 1320Hz und so weiter. Die Amplituden werden, wie gesagt, durch die Besselfunktionen bestimmt. Ich hab die ersten drei jetzt mal genauer abgelesen: es ergeben sich 0,95, 0,25 und 0,03. Das sieht dann so aus: Noch nicht ganz, was wir wollen, nicht wahr? EDIT: das waren jetzt Werte für 0,5, was bedeutet, dass die Frequenz zwischen 330Hz und 550Hz schwankt, und zwar 440mal in der Sekunde. Wir können sie nun auch stärker schwanken lassen, dann liest Du die Besselwerte bei einem anderen x-Wert ab. Du könntest also durch das Besseldiagramm durchgehen und schauen, bei welchem x-Werte die Amplituden von J0, J1, J2 etc. die Zahlenwerte 0,21, 0,13 und 0,03 haben (bzw. das Verhältnis 21:13:3). Dann rechnest Du den zugehörigen Frequenzhub aus und lässt die 440Hz mit diesem schwanken. EDIT2: es ist noch nicht mal einfach nur das Verhältnis zwischen J0, J1 und so weiter. Vielmehr wird die Amplitude der Grundfrequenz von der Differenz J0-J2 bestimmt, die der zweiten Harmonischen von der Summe J1+J3 und so weiter. Ich habe das jetzt mal spaßeshalber in Excel eingegeben (da gibt's ja auch die BESSELJ-Funktion) und keinen x-Wert gefunden, wo die Verhältnisse so richtig passen, von der Phase ganz zu schweigen. So einfach ist das damals wohl auch nicht für die Synth-Entwickler gewesen. Aber ab jetzt verlassen wir wirklich die Mathematik. Ab jetzt wird rumprobiert, auch mal mit 220Hz oder 110Hz moduliert, oder gar nicht sinus-, sondern dreieck- oder sägezahnförmig, was wieder ganz andere Spektren ergibt. So lange, bis der gesuchte Klang passt. Viele Grüße Steffen |
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