Nachtwächter vor verschlossener Tür |
| 18.09.2014, 11:46 | bliblub | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Nachtwächter vor verschlossener Tür Ich sitze an der folgenden Aufgabe: Ein Nachtwächter muss während seines Rundgangs um Dunkeln eine verschlossene Tür öffnen. Er besitzt einen Schlüsselbund mit 10 Schlüsseln von denen genau einer die Tür öffnet. Der Nachtwächter verfolgt zwei Methoden: Methode A (wenn er nüchtern ist) besteht darin, die Schlüssel der Reihe nach zu probieren, umzu verhindern, dass zweimal derselbe Schlüssel ausproviert wird. Methode B (wenn er betrunken ist) besteht darin, solange auf gut Glück einen der Schlüssel zu versuchen, bis die Tür geöffnet ist. Erfahrungsgemäß ist der Nachtwächter an zwei von fünf Arbeitstagen betrunken. Sie beobachten ihn an einem zufällig ausgewählten Arbeitstag. Die Zufallsgröße Y gebe an, ob der Nachtwächter betrunken (Y=1) oder nüchtern ist (Y=0). Die Zufallsgröße X gebe die Anzahl der benötigen Versuche des Nachtwächters an, um die Tür zu öffnen. a) Geben Sie die Verteilung der {0,1}-wertigen Zufallsvariable Y an. b) Bestimmen Sie jeweils bei der Methode A sowie der Methode B die Verteilung von X. c) Wie wahrscheinlich ist es, dass der Nachtwächter an einem zufällig ausgewählten Tag die Tür im zweiten Versuch öffnet? d) Wie wahrscheinlich ist es, dass er nüchjtern ist, wenn die Tür sich beim zweiten Versuch öffnet? Meine Ideen: a) Ich weiß dass Y=1 mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/5 eintritt und Y=0 mit einer Wahrscheinlichkeit von 3/5. Weiß jedoch nicht wirklich, wie ich das mit der Verteilung anstellen soll. b) Hier das gleiche wie bei a). Ich weiß einfach nicht wirklich, wie ich da rangehen soll. c) Hier habe ich 3/5*9/10*1/10+2/5*9/10*1/10=9% gerechnet. d) Hier habe ich das Ergebnis aus c) mit 3/5 multipliziert und so 5,4% erhalten. Stimmen c) und d) und kann mir jemand bei a) und b) helfen? Vielen Dank!! |
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| 18.09.2014, 12:56 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
a) hast du schon gelöst. Die Zufallsvariable kann nur 2 Werte annehmen, also ist die gesamte Verteilung der Zufallsvariable schon durch die beiden Wahrscheinlichkeiten dieser Werte vollständig angegeben. b) Hier musst du halt beide Methoden einzeln betrachten: Fangen wir mal mit Methode A an: Mache dir klar, dass X dann gleichverteilt auf der Menge ist. Genau da liegt nämlich auch dein Fehler in der c). Dort hast du für beide Methoden eine geometrische Verteilung von X angenommen. X ist jedoch lediglich bei Methode B geometrisch verteilt. Bei der d) macht dein Rechnung jedoch dann überhaupt keinen Sinn mehr. |
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| 19.09.2014, 09:51 | bliblub | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Vielen Dank schonmal. Wie schreibe ich das denn bei a) und b) am besten auf. Muss ich das noch in die Formel für die Gleich- bzw. Geometrische Verteilung einsetzen? Bei c) weiß ich jetzt gar nicht mehr wie ich so wirklich drangehen soll. Kannst du mir da vielleicht noch einen Tipp geben? |
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| 19.09.2014, 11:04 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Formel für Gleichverteilung? Dass es sowas überhaupt gibt... Du sollst nicht mit irgendwelchen Formeln hantieren, sondern überlegen und dir vor allem erstmal klarmachen, dass X bei Methode A gleichverteilt ist, also für alle gilt. |
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| 19.09.2014, 11:43 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ein kleiner Einwurf: Notationsmäßig würde ich es vielleicht so angehen, dass man das gleich als bedingte Wahrscheinlichkeit notiert (was es im Kontext der Aufgabe ja auch ist), d.h. für , in Unterscheidung zur "betrunkenen" Variante für , bei ? ist noch die passende geometrische Verteilungswahrscheinlichkeit für Wert einzusetzen. |
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| 20.09.2014, 10:46 | bliblub | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Da bei Methode B die Verteilung ja geometrisch ist, würde ich sagen man geht davon aus, dass und ist es dann bei c so, dass 27/45*1/9+18/45*1/10=10,67% hat? und bei d) 8/75*3/5 ?? |
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| 20.09.2014, 10:54 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Sofern du das mit meinst, ist es korrekt.
Da sind einige Zahlenwerte falsch. 
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| 20.09.2014, 11:08 | bliblub | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok, also setze ich für p noch 1/10 ein, und dann ist dass die Verteilung von der Methode B? Wenn ich mir ein Baumdiagramm vorstelle habe ich ja als erstes die beiden Zweige, dass er betrunken (2/5) oder nüchtern (3/5) ist und danach interessiert mich ja erstmal nur, dass er den falschen Schlüssel als erstes wählt, dass tritt in beiden Fällen ja beim ersten Verusch mit 9/10 ein. Also habe ich als wahrscheinlichkeit betrunken-falscher schlüssel 18/50 und nüchtern-falscher schlüssel 27/50. Da mich aber wirklich nur diese Fälle interessieren, habe ich ja insgesamt nur 45 Fälle die ich mir weiter angucke. Das eine tritt in 18 von 45 Fällen ein, dass andere in 27 von 45 Fällen. Ist das bis dahin schonmal richtig? Danach interessiert mich bei beiden nur die Wahrscheinlichkeit, dass er den richtigen Schlüssel nimmt, wenn er betrunken ist, ist die Wahrscheinlichkeit ja immer noch 1/10, dass er den richtigen nimmt, weil er keinen Schlüssel ausschließt und wenn er nüchtern ist, schließt er den ersten Schlüssel, der falsch war, aus und hat so eine Wahrscheinlichkeit von 1/9, den richtigen zu nehmen.Deshalb komm ich auf 18/45*1/10+27/45*1/9. Wo liegt denn mein Denkfehler? |
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| 20.09.2014, 11:17 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Du ersetzt in deiner Baumrechnung einfach willkürlich 50 durch 45? Wieso das denn??? Die Frage war die hier:
Was du hier nun mit deinem "Auschließen" 45 aus 50 berechnest, ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit:
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| 20.09.2014, 11:25 | bliblub | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also bleibe ich bleibt es bei 18/50*1/10+27/50*1/9 oder ist da immer noch ein Denkfehler drin? |
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| 20.09.2014, 11:32 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, so stimmt es. Nach den Vorarbeiten in a) und b) hätte ich es allerdings über berechnet, statt erneut die Baumhangelei anzufangen. |
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| 20.09.2014, 11:34 | bliblub | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Dankeschön! Und bei d) ist es da richtig, dass ich das Ergebnis von c) mit 3/5 multipliziere? |
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| 20.09.2014, 11:36 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein, das ist nicht richtig. In d) ist die bedingte Wahrscheinlichkeit gesucht, berechenbar über die Bayessche Formel (alle benötigten Teilergebnisse sind irgendwie schon in den Rechnungen zu c) vorhanden). |
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