Beweis Mathe: Basen & Erzeugendensysteme

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Fallen Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Mathe: Basen & Erzeugendensysteme
Meine Frage:
Einen schönen guten Tag, ich habe Probleme folgende Satz aus dem Unterricht zu beweisen:

Gegeben: ist ein K-Vektorraum V und eine Basis

Behauptung: Jede andere Basis von V hat ebenfalls n Vektoren

Gefragt ist keine kleine Herleitung, sondern ein richtiger Beweis, zu allem fehlt mir jedoch schon der Ansatz

Schon mal vielen Dank im Voraus

Meine Ideen:
Bisher fehlt mir noch jeder Ansatz, der Lehrer meinte man müsse gut mit Linearkombinationen, Lineare (Un-) Abhängigkeit, etc umgehen können, also Stoff bis zu MSS 12
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Behauptung folgt direkt aus dem sog. Austauschsatz.
Dein Beweis könnte in etwa so vor sich gehen: Wenn eine andere Basis von ist, so lässt sich jedes als Linearkombination von darstellen, also als mit eindeutig bestimmten ().
Jetzt musst du schauen, was passiert, wenn ist und einen Widerspruch erzeugen.
Fallen Auf diesen Beitrag antworten »

Schon mal vielen Dank, für die schnelle Antwort bijektion.....

Aber wie mache ich das dann mit einem Wiederspruch erzeugen, da muss doch rauskommen, dass ein Wiederspruch entsteht, wenn und dass nur kein Wiederspruch entsteht, wenn oder?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal betrachtest du das hier:
Zitat:
Wenn eine andere Basis von ist, so lässt sich jedes als Linearkombination von darstellen, also als mit eindeutig bestimmten ().

Da (sonst wäre keine Basis) ist für jedes mit mindestens ein .
O.B.d.A. kann angenommen werden: Dann überlegt man sich, dass wohl auch eine Basis von sein muss. So fortfahrend erhält man dann einen Widerspruch falls .
Fallen Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, ich stehe echt einfach auf dem Schlauch, wie genau entsteht da jetzt ein Wiederspruch.....:/
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