Wahrscheinlichkeiten Münzwurf

18.09.2014, 23:18

LisaLu

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Wahrscheinlichkeiten Münzwurf

In einem Münzwurfspiel wird ein Einsatz von 1 Euro erhoben. Es wird dreimal eine ideale Münze geworfen. Landet "Zahl" oben, wird 1 Euro ausgezahlt, Die Zufallsvariable x sei der Gewinn pro Spiel.

a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion und die Verteilungsfunktion.
b) Bestimmen Sie den Erwartungswert.
c) Mit welchem Gewinn können Sie rechnen, wenn Sie das Spiel 800-mal spielen?
d) Die Zufallsvariable Y sei der Gewinn des Spielleiters pro Spiel. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion.
e) Berechnen Sie E(y).
g) Welchen Einsatz muss der Spielleiter mindestens nehmen, damit er Gewinn macht?

Ich habe die Lösungen für a) vorliegen, jedoch komm ich nicht drauf, wie ich drauf komme.
Lösungen a):
$\begin{eqnarray*} P(x)=\begin{pmatrix} \frac{1}{8} \Rightarrow x=-1 \\ \frac{4}{8} \Rightarrow x=0 \\ \frac{3}{8} \Rightarrow x=1 \\ \frac{1}{8} \Rightarrow x=2 \\0 \Rightarrow sonst \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(t)=\begin{pmatrix} -1 \Rightarrow t<0 \\ \frac{1}{8} \Rightarrow -1\leq t<0 \\ \frac{4}{8} \Rightarrow 0\leq t<1 \\ \frac{7}{8} \Rightarrow 1\leq t<2 \\1 \Rightarrow t\geq 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie komme ich auf die Werte von P(x)? Ich kanns mir sogar erklären. Es gibt 2³=8 Fälle die eintreten können. Also Zwei Möglichkeiten hoch 3 Versuche. Aber wie komm ich nun auf die Werte?

b) Hab ich mit den Lösungen lösen können, sollte $\begin{eqnarray*} E(x)= \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ sein.

c) War auch kein Problem, wenn b) stimmt sinds 400.

Bei d) hab ich mir Folgendes gedacht:
$\begin{eqnarray*} P(y)= \begin{pmatrix} \frac{1}{8} \Rightarrow x=-2 \\ \frac{1}{8} \Rightarrow x=-1 \\ \frac{3}{8} \Rightarrow x=0 \\ \frac{1}{8} \Rightarrow x=1 \\0 \Rightarrow sonst \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
das aber nur mit Nachdenken, ich könnt es mathematisch aufgrund des Versagens bei a) nicht.

Die folgenden Aufgaben hab ich noch nicht bearbeitet. Könnt Ihr mir helfen? Danke schonmal, eure Liz.

19.09.2014, 00:26

Dopap

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Ich würde erstmal für klare Schreibfiguren sorgen. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion:

$\begin{eqnarray*} f: \begin{tabular}{c||c|c|c|c} x & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline & $\tfrac 18$ & $\tfrac 38$ & $\tfrac 38 $& $\tfrac 18$ \end{tabular} \end{eqnarray*}$ für sonstige x - Werte ( die nicht vorkommen ) ist f(x)=0

Die Verteilungsfunktion $\begin{align*} x \in \mathbb R : \end{align*}$

$\begin{eqnarray*} F(x) = \begin{cases} 0 & \land x \, < {-1.5} \\ \tfrac 18 & \land -0.5 \leq x<0.5 \\ \tfrac 48 & \land 0.5 \leq x < 1.5 \end{cases} \end{eqnarray*}$ usw...

19.09.2014, 01:18

LisaLu

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Argh, bringt man es in eine ordentliche Form ist es auch direkt verständlicher. Nur wie genau komm ich auf die Werte? Sowohl für x als auch die Wahrscheinlichkeiten. Ich mein, in diesem Fall hab ich halt überlegt, aber sicher fühlte ich mich dabei nicht. gibt es da eine Methode?

19.09.2014, 09:01

Dopap

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du hast doch (fast ) alles richtig gemacht !

Nach Beschreibung des Spiels bestimmt man ( hier mit der Binomialfunktion ) alle möglichen Werte des Gewinns = Zufallsvariable.
Und dazu die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten. Das Ganze in eine Tabelle stellen. Fertig

Die Verteilungsfunktion ist lediglich das schrittweise aufaddieren dieser Funktionswerte.
Der letzte Wert muss eine Eins ergeben. Fertig

b.)

$\begin{eqnarray*} \begin{tabular}{c||c|c|c|c} x & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline f(x) & $\tfrac 18$ & $\tfrac 38$ & $\tfrac 38 $& $\tfrac 18$ \\ <br /> \hline $x\cdot f(x)$ & $-\tfrac 18$ & 0 & $\tfrac 38 $& $\tfrac 28$ \end{tabular} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{ Zeile 2}: \quad \sum f(x)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{ Zeile 3}: \quad E(X)=\sum x\cdot f(x)=\frac 1 2 \end{eqnarray*}$

19.09.2014, 10:46

HAL 9000

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Korrektur

Zitat:

Original von Dopap
Die Verteilungsfunktion $\begin{align*} x \in \mathbb R : \end{align*}$

$\begin{eqnarray*} F(x) = \begin{cases} 0 & \land x \, < {-1.5} \\ \tfrac 18 & \land -0.5 \leq x<0.5 \\ \tfrac 48 & \land 0.5 \leq x < 1.5 \end{cases} \end{eqnarray*}$ usw...

Die Verteilungsfunktion der Zufallsgröße $\begin{align*} X \end{align*}$ ist definiert gemäß $\begin{align*} F(x) := P(X\leq x) \end{align*}$ .

Dabei spielt es keine Rolle, ob $\begin{align*} X \end{align*}$ stetig oder diskret verteilt ist. Diese Definition hat zur Folge, dass bei diskreten Zufallsgrößen der Verteilungsfunktionswert genau an den Stellen "springt", die die Zufallsgröße annehmen kann - nicht etwa auf halbem Wege zwischen zwei solchen Stellen! D.h., tatsächlich ist

$\begin{align*} F(x) = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\; x < -1 \\ \frac{1}{8} & \;\mbox{für}\; -1\leq x < 0 \\ \frac{4}{8} & \;\mbox{für}\; 0\leq x < 1 \\ \ldots \end{cases} \end{align*}$

19.09.2014, 20:36

LisaLu

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Klasse, danke schön. Dann sollte d) auch richtig sein und e) entsprechend $\begin{eqnarray*} E=-0,5 \end{eqnarray*}$ .
für g) fehlt mir der Ansatz.

edit:
Geh ich richtig in er Annahme, dass $\begin{eqnarray*} E\geq 0 \end{eqnarray*}$ sein muss? Also quasi $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ einfach $\begin{eqnarray*} E=0 \end{eqnarray*}$ setzen?

Und da verließen sie mich. Ich hab E immer einfach ausgerechnet, indem ich $\begin{eqnarray*} \frac{\sum x}{Anzahl x} \end{eqnarray*}$ gerechnet hab. Damit weiß ich jetzt zwar, dass $\begin{eqnarray*} \sum x=4 \end{eqnarray*}$ sein muss, aber nicht die Verteilung. verwirrt

verwirrt

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19.09.2014, 20:59

Dopap

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da das ein Nullsummenspiel ist, ist E(Y)=-0.5 logisch.

-----------------------------------

g.) Das ist der durchschnittliche Gewinn des Spielleiters. Um wieviel sollte er den Spieleinsatz mindestens erhöhen =a, damit E(Y+a)>0 wird?

--------------------------------

und dein Ansatz zu E(X) ist wohl ziemlich daneben. unglücklich

unglücklich

der gilt nur , wenn X eine Messreihe ist --> arithmetischer Mittelwert.

20.09.2014, 15:34

LisaLu

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Danke :-)
E(y+a)=1,5, d.h., der Einsatz muss um 0,5 steigen.

20.09.2014, 20:03

Dopap

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Zitat:

Original von LisaLu
Danke :-)
E(Y+a)=1,5, d.h., der Einsatz muss um 0,5 steigen.

du meinst wohl das Richtige.

$\begin{eqnarray*} E(Y+a)>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(Y)+E(a)>0 \end{eqnarray*}$ der Operator "E" ist linear

$\begin{eqnarray*} -0.5+a>0<br /> <br /> a>0.5 \end{eqnarray*}$

20.09.2014, 22:21

LisaLu

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Ah, alles klar. Das mit der Schreibweise muss ich noch richtig drauf kriegen.
Ich versuch einer Freundin gerade die Aufgabe zu erklären. Soweit auch kein Problem, nur kann ich es nicht richtig erklären, wie sie am Anfang auf die Wahrscheinlichkeitswerte gekommen sind.
$\begin{eqnarray*} 2^3=8 \end{eqnarray*}$ versteht sie, Die Wahrscheinlichkeiten für $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ auch, nur die Wahrscheinlichkeiten für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} \frac {3}{8} \end{eqnarray*}$ kann ich ihr nicht richtig klarmachen.
Könnt ihr es evtl. besser (mathematischer) erklären?

20.09.2014, 22:40

Dopap

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Nehmen wir mal Z=Anzahl geworfener "Zahlen" statt X. Demnach übersetzen wir:

Z=X+1

Es geht also um P(Z=1) und um p(Z=2)

es gilt die Binomialfunktion

$\begin{eqnarray*} p(Z=k)=\binom 3 k \underbrace {(\frac 12)^k (\frac 12)^{3-k}}_{(\tfrac 12)^3} \end{eqnarray*}$ mit k=1 oder k=2

reicht das ?

20.09.2014, 22:55

LisaLu

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Also immer Anzahl der Versuche über x+1?

In diesem Fall rechnen wir also für x=-1:

$\begin{eqnarray*} \binom{3}{0}=\frac{\frac{3!}{0!(3-0)!}}{8} \end{eqnarray*}$

und für x=0:
$\begin{eqnarray*} \binom{3}{1}=\frac{\frac{3!}{1!(3-1)!}}{8} \end{eqnarray*}$ ,

bei 4 Würfen wär es dann

$\begin{eqnarray*} \binom{4}{k}=\frac{\frac{4!}{k!(4-k)!}}{N} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} k=Z=x+1 \end{eqnarray*}$
N=mögliche Fälle (Im Beispiel 2³)?

20.09.2014, 23:16

Dopap

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Zitat:

Original von LisaLu
Also immer Anzahl der Versuche über x+1

ja, wenn du unbedingt bei X bleiben willst.

Zitat:

In diesem Fall rechnen wir also für x=-1:

$\begin{eqnarray*} \binom{3}{0}=\frac{\frac{3!}{0!(3-0)!}}{8} \end{eqnarray*}$

und für x=0:
$\begin{eqnarray*} \binom{3}{1}=\frac{\frac{3!}{1!(3-1)!}}{8} \end{eqnarray*}$

Du darfst nicht irgendwelche Dinge gleich setzen. Sommer = Sonne = Spass ist zwar literarisch o.K. aber nicht mathematisch, du meinst wohl (z.B) :

und für x=0:
$\begin{eqnarray*} \binom{3}{1}\frac 1 8=\frac{\frac{3!}{1!(3-1)!}}{8} \end{eqnarray*}$

Zitat:

bei 4 Würfen wär es dann

$\begin{eqnarray*} \binom{4}{k}=\frac{\frac{3!}{k!(3-k)!}}{N} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} k=Z=x+1 \end{eqnarray*}$
N=mögliche Fälle (Im Beispiel 2³)?

ist ganz ganz falsch

[b]solche ( falls richtig ) Verschmelzungen zu einer neuen griffigen Formel in diesem Sonderfall des Münzwurfes sind nicht empfehlenswert. Wichtiger ist die Grundformel zu kennen.

20.09.2014, 23:20

LisaLu

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Die Binominalfunktion können(kennen) wir grad garnet :-(

20.09.2014, 23:31

Dopap

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aber trotzdem kennst du den Binomialkoeffizienten.

hier: $\begin{eqnarray*} \binom 3k=\frac {3!}{k!(3-k)!} \end{eqnarray*}$ Freude

Freude

soll ich noch den Fall Z=1 / Z=2 ohne "Binomial" darlegen ?

20.09.2014, 23:35

LisaLu

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Ja, bitte! Mit Zunge

Mit Zunge

20.09.2014, 23:51

Dopap

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1.) wichtig ist , dass im Falle der Gleichwahrscheinlichkeit jedes der 8 3-Tupel (Kette )dieselbe Wahrscheinlichkeit = 1/8 hat.

zum Beispiel: p(z,z,z)=p(z,k,k)=p(k,z,k)=...=1/8 , z=Zahl, k=Kopf

Achtung: ein Tupel (Kette ) ist keine Menge sondern ein Vektor, es kommt auf die Reihenfolge an !

betrachten wir nun z.B : Anzahl von Zahl = 1.

2.) Dazu gibt es aber 3 Möglichkeiten:

(z,k,k),(k,z,k),(k,k,z)

dasselbe gilt sinngemäß für Z=2

daher stammt der (binomial ) Faktor Drei.

21.09.2014, 00:01

LisaLu

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Ahhhhhh!! Jetzt haben wir es glaub ich! Danke schön!

21.09.2014, 00:03

Dopap

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sehr schön, das freut mich smile

smile

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