Quadratische Gleichungen

19.09.2014, 12:45

Oracle

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Quadratische Gleichungen

Meine Frage:
Hallo,

ich habe ein paar Fragen über quadratsiche Gleichungen, da ich einiges noch nicht so ganz verstehe.

1. Wie kann ich allein durch die Lösungsmenge die zugehörige Gleichung angeben? Also z.B. folgende Lösungen:
{7;-7}
{0}
{9;0}

2. Wie bestimme ich mithilfe von Graphen die Lösungsmenge?
Beispiele:
x²-x-0,75=0
3x+6=-6x²

3. Wie bestimme ich die Lösungsmenge einfach durch rechnen?
Also auch hier Beispiele:
x²-4=0
(x+3)(x-5)=0
x²+4x=21

Hoffentlich könnt ihr mir bei den Aufgaben helfen und mir erklären, wie das jeweils geht.

LG und vielen Dank.

Meine Ideen:
Zu 1 habe ich leider überhaupt keine Ansätze.

Zu 2: Ich glaube ich muss die Gleichung erst umstellen, aber wie?

Zu 3: Auch hier denke ich, dass man die Gleichung umstellen muss, genauere Ideen habe ich leider aber auch nicht.

19.09.2014, 12:58

Steffen Bühler

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RE: Frage über quadr. Gleichungen
Herzlich willkommen im Matheboard!

Zu 1:
Alle quadratischen Gleichungen können ja auf die Form $\begin{eqnarray*} (x-a)\cdot (x-b)=0 \end{eqnarray*}$ gebracht werden. Die Lösungen sind dann direkt zu sehen: nämlich x=a und x=b. Warum? Setz mal ein, dann siehst Du's bestimmt.

Zu 2:
Wenn tatsächlich Graphen gemeint sind, also eine grafische Lösungsbestimmung, dann geht das auch recht einfach: man zeichnet den Graphen und schaut, wo er die x-Achse schneidet. An der Stelle ist ja y=0 und das sind die Lösungen. Für Dein Beispiel x²-x-0,75=0 bekommst Du den Graphen

Siehst Du die Nullstellen?

Zu 3:
Wenn Du Gleichungen umstellen kannst, ist das kein Problem:

$\begin{eqnarray*} x^2-4=0 \end{eqnarray*}$

Die -4 nach rechts:

$\begin{eqnarray*} \to x^2=4 \end{eqnarray*}$

Auf beiden Seiten die Wurzel:

$\begin{eqnarray*} \to x= \pm 2 \end{eqnarray*}$
Ich hab mir erlaubt, einen Schreibfehler zu korrigieren. Steffen

Ansonsten gibt's zum Knacken von quadratischen Gleichungen die pq- bzw. abc-Formel. Die dürfte(n) Dir bekannt sein.

Viele Grüße
Steffen

19.09.2014, 16:05

Oracle

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RE: Frage über quadr. Gleichungen
Hallo,

vielen Dank für die schnelle Antwort.

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Zu 1:
Alle quadratischen Gleichungen können ja auf die Form $\begin{eqnarray*} (x-a)\cdot (x-b)=0 \end{eqnarray*}$ gebracht werden. Die Lösungen sind dann direkt zu sehen: nämlich x=a und x=b. Warum? Setz mal ein, dann siehst Du's bestimmt.

Beim ersten Beispiel also: $\begin{eqnarray*} (x+7)\cdot (x-7)=0 \end{eqnarray*}$
Was soll ich danach machen bzw. ist das überhaupt korrekt?

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Zu 2:
Wenn tatsächlich Graphen gemeint sind, also eine grafische Lösungsbestimmung, dann geht das auch recht einfach: man zeichnet den Graphen und schaut, wo er die x-Achse schneidet. An der Stelle ist ja y=0 und das sind die Lösungen. Für Dein Beispiel x²-x-0,75=0 bekommst Du den Graphen

Siehst Du die Nullstellen?

Ehrlich gesagt verstehe ich das immer noch nicht so ganz, warum liegt der Graph nicht unten bei Null? Also ich glaube wie eine Normalparabel. Muss man da nichts erst umstellen?

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Zu 3:
Wenn Du Gleichungen umstellen kannst, ist das kein Problem:

$\begin{eqnarray*} x^2-4=0 \end{eqnarray*}$

Die -4 nach rechts:

$\begin{eqnarray*} \to x^2=4 \end{eqnarray*}$

Auf beiden Seiten die Wurzel:

$\begin{eqnarray*} \to x= \pm 2 \end{eqnarray*}$
Ich hab mir erlaubt, einen Schreibfehler zu korrigieren. Steffen

Das Ergebnis wäre hier also x = 2 ? Wenn die Formel $\begin{eqnarray*} x^2+4=0 \end{eqnarray*}$ lauten würde, dann würde es keine Lösung geben, oder? (Wegen dem Wurzelziehen bei negativen zahlen)
Aber wie funktioniert das bei den anderen beiden Beispielen? Diese sind ja ganz anders aufgebaut.

(x+3)(x-5)=0
x²+4x=21

Sorry, ich bin etwas ahnungslos, ich kann es einfach nicht verstehen.
Hoffentlich könnt ihr mir aber trotzdem helfen.

LG

19.09.2014, 16:14

Steffen Bühler

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RE: Frage über quadr. Gleichungen

Zitat:

Original von Oracle
Beim ersten Beispiel also: $\begin{eqnarray*} (x+7)\cdot (x-7)=0 \end{eqnarray*}$
Was soll ich danach machen bzw. ist das überhaupt korrekt?

Ja, das ist korrekt, und das war's auch schon. Du kannst natürlich noch ausmultiplizieren, aber wenn's nicht verlangt ist, würde ich's mir sparen.

Zitat:

Original von Oracle
warum liegt der Graph nicht unten bei Null?

Das ist nun mal der Graph von f(x)=x²-x-0,75. Kannst ihn ja selbst mal über eine Wertetabelle erstellen.
Der liegt da, da kann man nichts machen. Aber so findest Du die Nullstellen grafisch. Wie lauten sie?

Zitat:

Original von Oracle
Das Ergebnis wäre hier also x = 2 ?

Es gibt zwei Lösungen, nämlich x=2 und x=-2. Denn beide Zahlen ergeben quadriert 4.

Zitat:

Original von Oracle
Wenn die Formel $\begin{eqnarray*} x^2+4=0 \end{eqnarray*}$ lauten würde, dann würde es keine Lösung geben, oder? (Wegen dem Wurzelziehen bei negativen zahlen)

Richtig!

Zitat:

Original von Oracle
Aber wie funktioniert das bei den anderen beiden Beispielen? Diese sind ja ganz anders aufgebaut.

(x+3)(x-5)=0

Wie oben bei (x-7)*(x+7)=0 kannst Du die Lösung direkt angeben. Ein Produkt wird nämlich dann Null, wenn...

Zitat:

Original von Oracle
x²+4x=21

Umstellen zu x²+4x-21=0 und die pq-Formel.

Viele Grüße
Steffen

PS: Leider bin ich jetzt weg und übers Wochenende nicht online. Entweder machen wir nächste Woche weiter, oder jemand anders hilft aus.

19.09.2014, 16:38

Oracle

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RE: Frage über quadr. Gleichungen

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Das ist nun mal der Graph von f(x)=x²-x-0,75. Kannst ihn ja selbst mal über eine Wertetabelle erstellen.
Der liegt da, da kann man nichts machen. Aber so findest Du die Nullstellen grafisch. Wie lauten sie?

Da komm ich überhaupt nicht mit. Wie bestime ich da die Lösungsmenge, ich seh da ja nur eine Parabel, sonst nichts. Und woher weißt du, wo du die Zahlen eintragen sollst? Wie funktioniert das mit der Wertetabelle?

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Wie oben bei (x-7)*(x+7)=0 kannst Du die Lösung direkt angeben. Ein Produkt wird nämlich dann Null, wenn...

Die Lösung wär bei "(x+3)(x-5)=0" also ganz einfach L = {3;-5} ?

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Umstellen zu x²+4x-21=0 und die pq-Formel.

Diese pq Formel ist also die Normalform? Also am Ende = 0 ?

LG

19.09.2014, 17:06

Dopap

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Also,

$\begin{align*} (x+3)(x-5)=0 \end{align*}$ hat die Lösungen $\begin{align*} x_1=-3 \end{align*}$ und $\begin{align*} x_2=5 \end{align*}$

Beachte: jeweils eine Klammer muss Null werden !

Bei

$\begin{align*} x^2-4=0 \end{align*}$ würde ich nach der 3. binomischer Formel schreiben:

$\begin{align*} (x-2)(x+2)=0 \end{align*}$ und nicht $\begin{align*} x^2=4 \end{align*}$ und dann die pq-Formel.

Bei

$\begin{align*} x^2+4=0 \end{align*}$ kann man sagen: eine Zerlegung ist nicht möglich !

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22.09.2014, 15:44

Oracle

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Hallo,

ich habe jetzt noch eine Frage.
Beispiel - Lösung bestimmen:
x²+7x=0
oder
x²+4x=21

Was muss ich hier machen und wie bekommen ich dieses "x" weg? Wie ist der rechenweg?

2. Frage:

Was ist bei binomischen formeln?
z.B. (x+7)(x-7)=72

wie bestimme ich da die lösung?

Lg

22.09.2014, 15:56

Equester

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1.Frage

x^2+7x = 0
--> Klammere x aus. Bedenke dann "Ein Produkt ist 0, wenn es min. ein Faktor ist".

x^2+4x = 21
--> Bringe 21 nach links, dann pq-Formel

2. Frage

(x+7)(x-7) = 72

--> Schau mal nur die linke Seite an. Welche binomische Formel erkennst du? Wende sie mal an. Kommst du weiter?

22.09.2014, 16:12

Oracle

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1. Wie soll ich das ausklammern, ich verstehe das ganze noch nicht so.
Und bei 2) also -21, und dann? Was ist mit der pq-Formel?

2. Es ist die dritte binomische Formel. Ich kann sie ausmultiplizieren, weiter weiß ich aber nicht?

22.09.2014, 16:39

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Oracle
Wie soll ich das ausklammern

So: $\begin{eqnarray*} x^2+7x = x \cdot (x+7) \end{eqnarray*}$

Und, wie mehrfach erwähnt: ein Produkt ist dann Null...

Zitat:

Original von Oracle
Und bei 2) also -21, und dann?

Dann steht da $\begin{eqnarray*} x^2+4x-21 = 0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Oracle
Was ist mit der pq-Formel?

Damit knackst Du diese quadratische Gleichung. Mit p=4 und q=-21. Jetzt?

Zitat:

Original von Oracle
Es ist die dritte binomische Formel. Ich kann sie ausmultiplizieren, weiter weiß ich aber nicht?

Dann hast Du $\begin{eqnarray*} x^2-49=72 \end{eqnarray*}$

Nun bring die 49 rüber. Dann siehst Du's oder?

Viele Grüße
Steffen

22.09.2014, 16:50

Oracle

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x ist also null?
Sieht die Gleichung also so aus beim Rechenbefehl -7x
? x²=-7
Oder verstehe ich das falsch?

Bei der zweiten besser durch 4, was ist dann mit der x?
Sieht die Gleichung dann nicht so aus?
x²+x=5,25

Den letzten Teil mit der Binomischen Formel habe ich verstanden, danke.

Lg

22.09.2014, 17:10

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Oracle

x ist also null?

Das ist eine Lösung von x*(x+7)=0. Wann wird der andere Faktor, also (x+7), Null? Denn auch dann wird der gesamte Ausdruck Null!

Zitat:

Original von Oracle
Bei der zweiten besser durch 4

Nein, lass sie einfach so stehen. Die pq-Formel will, dass x² ohne Faktor dasteht.

Wie ebenfalls bereits geschrieben, hast Du also p=4 und q=-21. Und jetzt Zähne zusammenbeißen und das in die pq-Formel einsetzen, um x1 und x2 zu bestimmen. Nur Mut, wir sind bei Dir.

22.09.2014, 18:46

Oracle

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Wär es vielleicht möglich, dass du mir die Gleichung oben im Beispiel komplett lösen könntest? Damit ich alle Schritte sehe, leider verstehe ich das so gar nicht.
Ich lese mich dazu schon über Stunden ein^^

22.09.2014, 18:49

Dopap

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@Oracle: es macht keinen Sinn, in direkter Antwort immer ein Vollzitat zu verwenden. Das ist nur Datenmüll und macht das Lesen nicht einfacher !

22.09.2014, 19:27

Oracle

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Leider gibt es keine Mobile Version, daher ist es sehr schwer den nicht nötigen Teil wegzutrennen.
Sorry, danke für den Hinweis.

Lg

22.09.2014, 20:25

Steffen Bühler

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Die pq-Formel lautet

$\begin{eqnarray*} - \frac p2 \pm \sqrt { \frac {p^2} 4 -q } \end{eqnarray*}$

Hier ist also p=4 und q=-21.

Also ist erst mal -p/2=-2.

Dann ist p^2/4 einfach das Quadrat davon, also 4.

Jetzt 4-q=4+21=25.

Daraus die Wurzel ist 5.

Dann sind die beiden Lösungen -2+5 und -2-5, also 3 und -7.

Ich lösche jetzt mal Deine ganzen Vollzitate hier, Du hast recht, mobil ist es wirklich mühsam. Aber dann besser zitatlos, es steht ja eh alles direkt drüber.

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