Körper R/(f)R ist K-Vektorraum

19.09.2014, 17:15

MartinL

Körper R/(f)R ist K-Vektorraum

Moin,

ich arbeite mich weiter in Richtung Klausur und deshalb hier die nächste Aufgabe, bei der ich nicht ganz weis, wie ich mein Wissen sinnvoll einsetzen kann:

Aufgabe:
Es sei $\begin{align*} K \end{align*}$ ein Körper und $\begin{align*} f \in R := K[x] \end{align*}$ sei irreduzibel mit $\begin{align*} grad(f) = n \geq 1 \end{align*}$ .
Zeige: Der Körper $\begin{align*} \overline{K} := R/(f)_R \end{align*}$ ist ein n-dimensionaler K-Vektorraum. Wie sieht eine 'natürliche' Basis von $\begin{align*} \overline{K} \end{align*}$ aus?

In einem Körper müssten doch die Vektorraumaxiome allesamt gelten oder? Also kann ich davon ausgehen, dass es sich um einen Vektorraum handelt. Zu zeigen ist also nur, dass dieser n-dimensional ist und wie eine 'natürliche' Basis aussieht.

Dazu scheint es nötig, sich über die Struktur des Körpers Gedanken zu machen. Über f weiß ich, dass der Grad mindestens 1 ist, und dass f nicht zerfällt. f kann also nicht dargestellt werden durch ein Produkt von anderen Polynomen (mit geringerem Grad). Diese Polynome sind also auch nicht in $\begin{eqnarray*} (f)_R \end{eqnarray*}$ (Richtig?). Außerdem sind in dem Körper/Vektorraum Polynome enthalten. Ich suche also eine Basis aus Polynomen mit n linear unabhängigen Polynomen. Kann ich da nicht einfach die Polynome mit Grad kleiner n nehmen? Das ist eher eine Vermutung als eine Sicherheit aber vielleicht bin ich ja auf der richtigen Spur.

Gruß
Martin

19.09.2014, 22:40

tmo

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RE: Körper R/(f)R ist K-Vektorraum

Zitat:

Original von MartinL
Kann ich da nicht einfach die Polynome mit Grad kleiner n nehmen?

Ja, darauf läuft es hinaus. Zeige, dass die Restklassen von $\begin{align*} 1,x, \dotsc, x^{n-1} \end{align*}$ eine Basis bilden.

Das wäre dann wohl auch direkt die "natürliche" Basis, von der in der Aufgabe die Rede ist, wobei mich das Wort hier ehrlich gesagt ein bisschen stört...Eine Basis ist immer eine Wahl, da ist nichts natürlich.

19.09.2014, 22:43

MartinL

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Ok, dann weiß ich, dass ich auf dem richtigen Weg bin. Werde das morgen dann mal "mathematisieren" Augenzwinkern

. Ich denke, dass der Professor mit dem Wort verhindern wollte, dass man die krudesten Polynome ausprobiert. Wie du schon sagst, ist eine Basis immer eine Wahl und man könnte da ja auf ganz komische Ideen kommen, was es dem Korrekteur unnötig erschwert Augenzwinkern

20.09.2014, 19:08

MartinL

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Ich habe jetzt folgendermaßen argumentiert. Wenn g ein beliebiges Polynom ist, dann ist der Grad von (g modulo f) auf jeden Fall kleiner n. Außerdem finde ich für jeden möglichen Grad ein Polynom, welches als Rest modulo f genau diesen Grad hat.

$\begin{eqnarray*} 1 \ mod \ f = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \ mod \ f = x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2 \ mod \ f = x^2 \end{eqnarray*}$
.
.
.
$\begin{eqnarray*} x^{n-1} \mod \ f = x^{n-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^n \ mod \ f < n \end{eqnarray*}$

Alle möglichen Polynome modulo f haben also einen Grad kleiner als n. Die kann ich alle erzeugen durch die oben angegebenen Elemente. Reicht das? Fehlt da was? Wenn man die Struktur nicht so explizit hat, fällt es mir immer schwer, das richtig mathematisch auszudrücken und aufzuschreiben.

Gruß
Martin

21.09.2014, 20:48

tmo

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Ja letztendlich könnte das als Beweis dafür durchgehen, dass dies ein Erzeugendensystem ist. Aber die lineare Unabhängigkeit fehlt auf jeden Fall noch.

22.09.2014, 09:07

MartinL

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Die sind doch bekanntermaßen linear unabhängig oder ändert sich in dieser Situation was? Diese Polynome sind ja als Basis des n-dimensionalen Vektorraums der Polynome bekannt.

Aber kurz angerissen:

Wenn ich beliebige Linearkombinationen aus beliebigen Polynomen vom Grad kleiner als n bilde, dann ist der Grad des linear kombinierten Polynoms auch kleiner als n. Insbesondere ist das Polynom somit kein Vielfaches von f und deshalb nicht automatisch 0 modulo f. Damit es ansonsten 0 wird, müssen schon alle Koeffizienten der Linearkombination 0 sein. Damit sind die Polynome aber alle linear unabhängig.

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