Abbildungsmatrix

20.09.2014, 21:39

Mathelover

Abbildungsmatrix

Hallo Freunde,

ich habe Probleme mit der Aufgabe.

Eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \phi:\mathbb{R}^4\rightarrow \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ sei durch

$\begin{eqnarray*} x \mapsto \begin{pmatrix} 2 &3 &2 &0 \\ -1&1 &1 &1 \\ 4&1 &0 &-2 \end{pmatrix} *x \end{eqnarray*}$

gegeben.

Bestimmen Sie eine geordnete Basis $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ und eine geordnete Basis $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ bezüglich $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ die Abbildungsmatrix
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0&0 &0 \\ 0&1 &0 &0 \\ 0&0 &0 &0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

besitzt.

Ich verstehe einfach nicht was ich tun soll. Soll ich eine Darstellungsmatrix $\begin{eqnarray*} D_{BB}(\phi) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D_{CC}(\phi) \end{eqnarray*}$ bestimmen?

Ich bitte um Hilfe traurig

20.09.2014, 22:59

Helferlein

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Du sollst Basen $\begin{align*} \{b_1,...,b_4\} \end{align*}$ und $\begin{align*} \{c_1, c_2, c_3\} \end{align*}$ finden, für die $\begin{align*} \phi(b_1)=c_1, \phi(b_2)=c_2 \end{align*}$ und $\begin{align*} \phi(b_3)=\phi(b_4)=0 \end{align*}$

20.09.2014, 23:07

Mathelover

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Zitat:

Original von Helferlein
Du sollst Basen $\begin{align*} \{b_1,...,b_4\} \end{align*}$ und $\begin{align*} \{c_1, c_2, c_3\} \end{align*}$ finden, für die $\begin{align*} \phi(b_1)=c_1, \phi(b_2)=c_2 \end{align*}$ und $\begin{align*} \phi(b_3)=\phi(b_4)=0 \end{align*}$

wie kommst du auf $\begin{align*} \phi(b_1)=c_1, \phi(b_2)=c_2 \end{align*}$ und $\begin{align*} \phi(b_3)=\phi(b_4)=0 \end{align*}$ ?

20.09.2014, 23:11

Helferlein

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Das erkennst Du an der Matrix.
Die erste Spalte ist $\begin{align*} \begin{pmatrix} 1 \\0\\0 \end{pmatrix} \end{align*}$ , d.h. $\begin{align*} \phi(b_1)=1 \cdot c_1+0 \cdot c_2+0 \cdot c_3 \end{align*}$ usw.

20.09.2014, 23:13

Mathelover

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und wieso nicht

$\begin{eqnarray*} \phi(c_1) = 1*b_1+0*b_2*0*b_3 \end{eqnarray*}$

20.09.2014, 23:25

Mathelover

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Sorry für die dumme Frage, aber du hast es sicherlich auch gemerkt. Ich habe garnicht verstanden was die Aufgabe von mir will...

Ist Darstellungsmatrix = Abbildungsmatrix?

Kann ich für B und C die Standartbasisvektoren nehmen?

Wie stehen Abbildungsmatrix und $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ zusammen?

20.09.2014, 23:40

Helferlein

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Ja, Darstellungsmatrix und Abbildungsmatrix sind dasselbe.
Nein, Du kannst nicht die Standardbasis nehmen, es sei denn sie erfüllt die gewünschten Kriterien.
Und den Zusammenhang zwischen der Abbildungsmatrix und der Abbildung steht schon in der Aufgabe: Es ist $\begin{align*} \phi(x)=Ax \end{align*}$ wobei Du halt in der Ausgangs- und Zielmenge eine bestimmte Basis zugrunde legst.

21.09.2014, 12:09

Mathelover

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Heißt die Abbildungsmatrix etwa $\begin{eqnarray*} D_{CB}(\phi) \end{eqnarray*}$

22.09.2014, 18:58

Helferlein

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Ich denke eher $\begin{eqnarray*} D_{BC}(\phi) \end{eqnarray*}$ . Das hängt aber von Eurer Notation(Benennung) ab.
Was Du zur Lösung der Aufgabe machen musst, hatte ich in meinem ersten Posting schon geschrieben: Suche Dir zwei Vektoren aus dem Kern und ergänze sie zu einer Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$

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