Stochastik Tschebychev-Ungleichung

21.09.2014, 12:36

bliblub

Stochastik Tschebychev-Ungleichung

Meine Frage:
Ich habe ein paar Schwierigenkeiten mit der folgenden Aufgabe:

In einem Spiel werden in jeder Runde mit einem tetraederförmigen Würfel die Augenzahlen 1,2,3 und 4 jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1/4 geworfen, unabhängig von den restlichen Runden. Xi sei die Augenzahl der i-ten Runde.
Bestimmen Sie:
a) E(X1) und Var(X1)
b) E(X1-X2) und Var (X1-X2)
c) mit der Tschebychev-Ungleichung eine obere Schranke für
$\begin{eqnarray*} P(\sum\limits_{i=1}^{10000} X_{i} - 25000 | \geq 200) \end{eqnarray*}$
d) mit dem zentralen Grenzwertsatz (und der Tabelle für die Standardnormalverteilung) eine Approximation für
$\begin{eqnarray*} P(\sum\limits_{i=1}^{10000} X_{i} - 25000 | \leq 90\cdot \sqrt{5} ) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
a) habe ich schon gelöst, da habe ich E(X1) = n*p (n=1+2+3+4=10; p=1/4) =2,5 und Var(X1)= n*p(1-p)=1,875
b) bei b) stehe ich ziemlich auf dem Schlauch. Es ist ja klar, dass X1 größer gleich X2 sein muss, sonst ist der Erwartungswert=0 aber wie gehe ich da richtig dran?
c)reicht es hier zu sagen, dass $\begin{eqnarray*} P(\sum\limits_{i=1}^{10000} X_{i} - 25000 | \geq 200)\leq \frac{Var(\sum\limits_{i=1}^{10000} X_{i})}{200^2} \end{eqnarray*}$ wobei die $\begin{eqnarray*} Var(\sum\limits_{i=1}^{10000} X_{i})=\frac{10000^{2}+10000}{2} \cdot \frac{1}{4} = 12501250 \end{eqnarray*}$ und somit wäre die obere Schranke 12501250/200² = 312,53125 stimmt das so?
d) bei d) fehlt mir irgendwie der Ansatz!

21.09.2014, 13:25

HAL 9000

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Zitat:

Original von bliblub
Var(X1)= n*p(1-p)=1,875

Nein - wie kommst du darauf, die Formel $\begin{align*} np(1-p) \end{align*}$ verwenden zu können? Das ist hier keine Binomialverteilung, sondern eine Gleichverteilung auf {1,2,3,4}.

Zu b)

$\begin{align*} E(X_1-X_2) = E(X_1)-E(X_2) \end{align*}$

$\begin{align*} V(X_1-X_2) = V(X_1+(-1)\cdot X_2) = V(X_1)+(-1)^2\cdot V(X_2) \end{align*}$

22.09.2014, 12:11

bliblub

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Ah ok, habe die Variation dann so berechnet:
Var(X1)=(1-2,5)²*1/4+(2-2,5)²*1/4+(3-2,5)²*1/4+(4-2,5)²*1/4=1,25

bei b) habe ich dann für E(X1-X2)=0 raus und bei Var(X1-X2)=2,5

bei c) (10000*1,25)/200²=0,3125 als obere Schranke

bei d) fehlt mir leider immer noch die Idee

22.09.2014, 12:23

HAL 9000

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a),b),c) sind jetzt in Ordnung. Freude

Zu d) Die nötigen Stichworte stehen ja bereits da:

Aus den in a) berechneten Charakteristika von $\begin{align*} E(X_1) \end{align*}$ und $\begin{align*} V(X_1) \end{align*}$ kannst du über den ZGWS die Parameter der approximativen Normalverteilung von $\begin{align*} \sum_{i=1}^{10000} X_i \end{align*}$ bestimmen, und damit dann losrechnen.

26.09.2014, 10:36

bliblub

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Ich weiß bei d) leider immer noch nicht wie ich anfangen soll. Ich finde auch keine Aufgabe zu dem Thema, die wir in den Übungen besprochen haben. Kannst du mir vielleicht noch ein paar Tipps geben?

26.09.2014, 14:56

HAL 9000

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Also gut, wenn du den ZGWS nicht selbst nachschlagen willst:

Sind die $\begin{align*} X_i \end{align*}$ unabhängig identisch verteilt mit $\begin{align*} E(X_1)=\mu,V(X_1)=\sigma^2 \end{align*}$ , so ist $\begin{align*} \sum_{i=1}^n X_i \end{align*}$ approximativ normalverteilt gemaß $\begin{align*} \mathcal{N}(n\mu,n\sigma^2) \end{align*}$ , bzw. normiert geschrieben

$\begin{align*} \frac{\sum\limits_{i=1}^n X_i-n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \sim \mathcal{N}(0,1) \end{align*}$ .

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