Dimension Vektorraum Untervektorraum

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halbprinz Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension Vektorraum Untervektorraum
Hallo,

habe nochmal eine Aufgabe bei der ich leider nicht weiterkomme. Aufgabe ist wieder im Anhang.

Also zuerst mal Definition von Dimension:
dim (V ) := Anzahl der Elemente einer Basis von V

Meine Frage, gibt es irgendeinen Satz bzw. eine Definition die etwas über den Zusammenhang der Dimension von Untervektorräumen und Vektorraum aussagt? Konnte in meinem Skriptum nichts finden. Desweiteren, wie soll man den Durchschnitt zweier Untervektorräume berechnen? Hat jemand eine Idee zu der Aufgabe?

Danke im Voraus.

MfG
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt die Dimensionsformel: .
 
 
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Abend.

Zitat:
Meine Frage, gibt es irgendeinen Satz bzw. eine Definition die etwas über den Zusammenhang der Dimension von Untervektorräumen und Vektorraum aussagt?


Nun, der Basisergänzungssatz sagt in gewisser Weise aus(als Korollar), dass ein Untervektorraum nicht eine größere Dimension als der ambiente Raum selbst haben kann.

Wenn ich die Aufgabe so sehe, hattet ihr mit Sicherheit die Dimensionsformel. Das heißt, du solltest wissen, dass gilt:

. Diese soll hier verwendet werden. Hast du eine Idee, wie ?
halbprinz Auf diesen Beitrag antworten »

Habe die Formel auf die Schnelle nicht im Skriptum gefunden, glaube aber mich daran erinnern zu können.
Also die Formel einfach umstellen, wie bijektion das schon gemacht hat. Dann kann ich einfach einsetzen, da die Dimension ja bekannt ist. Bleibt aber noch die Frage, wie rechnet man dim(U1+U2) aus.

Wenn ich den Schritt nun hab wie kann ich dann einen Schluss auf die Dimension des Vektorraums schließen? Danke Dir weiß ich zwar, dass die Dimension nicht größer als die des ambienten Raum sein kann, aber <= 5 ist ja trotzdem möglich?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Du brauchst sie ja nicht ausrechnen, sondern nur abschätzen. Dabei hilft dir, dass ein Unterraum von ist. Dazu hatte ich ja schon was geschrieben.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Mir fällt gerade auf, dass die Aufgabe (a) nicht zu lösen ist. Die Aussage ist falsch.
halbprinz Auf diesen Beitrag antworten »

Könntest Du mir erklären wie du darauf kommst? Und wie kann ich bei b und c vorgehen? Ich verstehe einfach nicht wie ich auf die Dimension des Vektorraums schließen kann.

Also Du hast gesagt die Dimension Des Untervektorraums kann nicht größer sein als die des Vektorraums. Hilft mir das bei c) weiter? Ich kann zwar sagen, dass die Dimension kleiner gleich 4 sein muss aber doch nicht ob sie größer gleich 2 ist oder irre ich mich da?

Bei b) versteh ich nicht wie ich durch die Aussage U1+U1 = U1 xor U2 irgendwie auf die Dimension des Vektorraums schließen soll/kann.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Bei b) versteh ich nicht wie ich durch die Aussage U1+U1 = U1 xor U2 irgendwie auf die Dimension des Vektorraums schließen soll/kann.


Was bedeutet denn genau? Das sollte dir Aufschluss über einen der Summanden geben.

Zitat:
Also Du hast gesagt die Dimension Des Untervektorraums kann nicht größer sein als die des Vektorraums. Hilft mir das bei c) weiter?


richtig. Diese Ungleichung kannst du umstellen.



Zitat:
Könntest Du mir erklären wie du darauf kommst? Und wie kann ich bei b und c vorgehen?




Als eine isomorphe Kopie von
halbprinz Auf diesen Beitrag antworten »

Das bedeutet dass der Vektorraum die direkte Summe der zwei Untervektorräume
U1 und U2 ist, was bedeutet, dass V = U1 + U2 und U1 &#8745; U2 = {0}. Hilft mir aber auch irgendwie nicht weiter.

Trotzdem muss ich \dim(U_1\cap U_2) ausrechnen oder?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
\dim(U_1\cap U_2) ausrechnen
In Fall (b) kannst du das doch. Du hast doch schon hingeschrieben, was ist.
halbprinz Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist b) falsch, weil dim(U1+U2) = dim(U1)+dim(U2) = 6, also müsste dim(v) >= 6 sein?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

halbprinz Auf diesen Beitrag antworten »

Upps, natürlich, also ist b) richtig.

Bei c) hab ich mir das so gedacht, dim(V) = 4, also ist dim(U1+U2) =< 4. Da dim(U1) + dim(U2) 6 ist, muss dim(U1 geschnitten U2) tatsächlich >= 2 sein damit dim(U1+U2) =< 4, liege ich da richtig?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Guppi12
Mir fällt gerade auf, dass die Aufgabe (a) nicht zu lösen ist. Die Aussage ist falsch.


Wieso das? Es ist wohl so zu verstehen: Falls für beliebige Unterräume der Dimension 3 von gilt: , dann folgt , und das ist richtig.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Das geht aber meiner Meinung nach schon über den Interpretationsspielraum heraus.

Deine Interpretation ist so einfach nicht mit dem Aufgabentext kompatibel. Ich bin bei sowas eigentlich nicht pingelig und lasse gerne auch mal etwas abwegige Interpretationen zu, aber das geht mMn. echt zu weit.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

@Guppi
Man kann es aber nur so verstehen, wie ich geschrieben habe, wenn die Aussage richtig sein soll. Natürlich kann man diese Schlussfolgerung nicht so einfach ziehen, da hast du recht. Man kann sich ja einen Vektorraum beliebiger Dimension gößer 5 vorstellen, in dem sich zwei UVR der Dimension 3 nicht-trivial schneiden.

Ich würde sagen, die Aufgabe ist schlecht formuliert und würde die Aussage unter der Prämisse beweisen, dass sie so gemeint ist, wie ich geschrieben hatte und ansonsten dazuschreiben, dass sie schecht bzw. falsch formuliert ist. Einfach zu sagen "nicht lösbar" ist natürlich ein simpler Weg, um sich Arbeit zu ersparen, auch wenn man damit recht hat.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine andere Möglichkeit wäre noch, dass ein

"Entscheiden Sie, ob wahr oder falsch" vergessen wurde.

Klar, schwer vorstellbar, aber immernoch der kleinere Fehler gegenüber der anderen Möglichkeit Big Laugh
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