Sind diese Aussagen jeweils richtig oder falsch?

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MartinL Auf diesen Beitrag antworten »
Sind diese Aussagen jeweils richtig oder falsch?
Moin,

aus der ersten Klausur stammt folgende Multiple Choice Aufgabe, zu der es keine Musterlösung gab. Ich wüsste also gern, ob ich mit meinen begründeten Vermutungen richtig oder falsch lag. Ein Beweis oder ähnliches war nicht gefordert und deshalb werde ich hier auch nicht alles noch mal kleinschrittig zeigen. Nur da, wo ich falsch liege, lohnt es sich denke ich, noch mal genauer drüber nachzudenken.

Hier die Aussagen und direkt meine Meinung dazu:

(A)







Bei (2) bin ich irgendwie unsicher, vor allen Dingen, weil aus (2) ja (4) direkt folgt. Vielleicht ist auch nur (4) richtig (oder gar keins Augenzwinkern )

(B)
Für ist
Für Gruppe X ist

Für jedes ist
Ist und , so ist
Ist Teiler von
Ist Teiler von

Bei (2) bin ich mir nicht ganz sicher. Allerdings könnte es ja sein, dass g gar nicht in U liegt und somit könnte g dann auch nicht in Z(U) liegen.

(C)
Sei






Hier bin ich mir relativ sicher, (1) liefert der Homomorphiesatz und bei den anderen kann man sich das eigentlich gut überlegen.

Wäre cool, wenn sich jemand (die doch recht große) Mühe macht, mal einen Blick drauf zu werden und vielleicht kriegt man dann ja auch die beiden Aussagen mit den Fragezeichen noch gelöst.

Gruß
Martin
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sind diese Aussagen jeweils richtig oder falsch?
Das von dir gelöste ist alles richtig, wobei mich interessieren würde, wie du auf A3) kommst. A4) folgt aus der richtigen Aussage A2). A2) folgt aus dem Untergruppenkriterium: M Untergruppe genau dann, wenn
Bei B2) hast du richtig argumentiert. In C1) könntest du die Gruppe direkt angeben.

In B3) und B4) nehme ich an, dass die Ordnung von bedeuten soll. Was ist aber dann ? Dies ist ja i.d.R. keine Untergruppe, nur eine Nebenklasse. Soll das die Mächtigkeit dieser Nebenklasse sein, die ja gleich der Ordnung von ist? Wenn ja: Warum sollte die Ordnung eines beliebigen Elements in Zusammenhang mit der Ordnung irgendeiner Untergruppe von stehen? Sie teilen beide die Ordnung von , mehr ist da nicht.
MartinL Auf diesen Beitrag antworten »

A3) haben wir glaube ich in der Vorlesung mal gehabt. Aber wenn M*M eine Teilmenge von M ist, dann muss ja, weil die Gruppenverknüpfung wohldefiniert ist, ein Element multipliziert mit einem anderen Element zwangsläufig auf sich selbst abgebildet werden. Es existiert also zu jedem a aus M ein b aus M mit ab = a. Dieses b ist dann das Einselement, welches in G und somit in M eindeutig ist. In M ist also das Einselement enthalten. Wenn ich jetzt aber ein Element c aus M mit jedem anderen Element aus M wieder durchmultipliziere, dann wird auch ein Produkt c*x = 1 auftreten. Ansonsten müsste es ja für c aus M ein g und ein h aus M geben mit cg = ch und g nicht gleich h.
Somit ist also auch zu jedem Element aus M das Inverse vertreten und damit ist das eine Untergruppe.

Wie gesagt, wir hatten den Satz glaube ich aber auch in der Vorlesung. Das mit den "?" lass ich dann mal außen vor. Vielleicht hat derjenige das in der Klausur falsch abgeschrieben oder was auch immer. Morgen ist die Klausur, entweder es klappt oder es klappt nicht Augenzwinkern

Gruß
Martin
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die Definitionen so sind, wie ich annehme, dann sind B3) und B4) falsch.

Zu A3): Das ist so OK, wenn auch etwas kompliziert. Ich würde schreiben: ,
wobei die von der Teilmenge erzeugte Untergruppe sein soll. Die erste Schlussfolgerung gilt, weil wegen der Endlichkeit von eine endliche zyklische Untergruppe sein muss.

Viel Glück für die Klausur. Wird schon klappen smile .
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

soll wohl ziemlich sicher die Ordnung von als Element der Gruppe sein.

Und dann ist genau eine von den beiden Aussagen mit den Fragezeichen richtig Augenzwinkern
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
soll wohl ziemlich sicher die Ordnung von als Element der Gruppe sein.

Und dann ist genau eine von den beiden Aussagen mit den Fragezeichen richtig Augenzwinkern


Wenn deine Interpretation richtig ist (wovon ich mal ausgehe), dann wäre B4) richtig und B3) falsch.
 
 
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