Abbildung linear in jeder Zeile?

22.09.2014, 14:03	Nortos	Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildung linear in jeder Zeile? Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen daraufhin, ob sie linear in jeder Zeile sind und ob aus rg (A) < 3 folgt, dass f(A) = 0 gilt. (Dabei sei $\begin{eqnarray} A = (a_{ij} ) \end{eqnarray}$ .) a) f: M(3x3,k)-> k $\begin{eqnarray} f(A)=a_{11}+a_{22}+a_{33} \end{eqnarray}$ b) f: M(3x3,k)-> k $\begin{eqnarray} f(A)=a_{11}a_{22}a_{33} \end{eqnarray}$ c) f: M(3x3,k)-> k $\begin{eqnarray} f(A)=a_{11}a_{32}-a_{12}a_{32} \end{eqnarray*}$ Meine einzige Idee hierzu ist das die Determinante einer Matrix ja die Eigenschaft hat das sie linear in jeder Zeile ist. Aber wie zeige ich das jetzt in dieser Aufgabe?
22.09.2014, 16:31	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Du sollst erstmal ja nur überprüfen ob sie denn linear in jeder Zeile ist. Zuerst mal a). Sei $\begin{eqnarray} A=(z_1,z_2,z_3)^T\in M_{3\times 3}(\mathbb{K}) \end{eqnarray}$ mit Zeilen $\begin{eqnarray} z_1,z_2,z_3 \end{eqnarray}$ . Wenn jetzt $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ eine beliebige andere Zeile ist, was passiert dann mit $\begin{eqnarray} (z_1+z,z_2,z_3)^T \end{eqnarray}$ etc. unter $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ?

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