Vollständige Induktion bzw. Ungleichungsproblem

22.09.2014, 18:33

balance

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Vollständige Induktion bzw. Ungleichungsproblem

Hallo,

also, würdet ihr mir kurz bei den folgenden 2 Aufgabe helfen?

Hier ist mir nicht klar, wie man mit einer (un)Gleichung arbeitet da ichs nur anhand von Summen kenne.
1. Beweise die Bernoullische Ungleichung
I.Annahme $\begin{eqnarray*} A(n): (1+x)^n \ge 1+nx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

Lösung:
I.Verankerung n=1
$\begin{eqnarray*} A(1): (1+x)^1 = 1+x \ge 1+x \end{eqnarray*}$

I. Schritt n=n+1 (darf ich gleich schreiben?)
$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1}=(1+x)^n \cdot (1+x) \ge (1 + nx)(1 + x)=1 + (n +1)x + nx^2 \ge 1 + (n+1)x \end{eqnarray*}$

Ich versteh nicht wieso im Buch über der 2. Klammer ( $\begin{eqnarray*} \ge 1+nx \end{eqnarray*}$ steht und in der 3. Klammer (>0) - Ich versteh jedoch die Umformung an sich.

Weiter ist mir unklar wie man von $\begin{eqnarray*} 1+nx=1+(1+n)x \end{eqnarray*}$ auf die Klammern 4 und 5 kommt.

22.09.2014, 18:36

bijektion

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Was ist denn die zweite und dritte Klammer? $\begin{eqnarray*} (1+x)^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (1+x) \end{eqnarray*}$ ?

22.09.2014, 18:51

balance

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Ja, genau. Beim I. Schritt von Links nach Rechts immer ein Polynom (ich hoffe das ist die korrekte Bezeichnung) halt (.....)

22.09.2014, 18:58

bijektion

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Ich denke das sind nur Hinweise, warum die Ungleichungen gelten.

22.09.2014, 21:10

balance

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Naja, aber es muss ja herleitbar sein. Die Infos über den Klammern sind Hinweise, klar, aber ich meine, ich kann der Berechnung beim I.Schritt nicht folgen. Wenn ich n+1 anwende, komme ich gleich auf das "Endergebnis", frage mich jedoch, was die gemacht haben bzw. welche Überlegung hinter den Zwischenschritten steckt.

22.09.2014, 21:42

bijektion

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Zitat:

Ich versteh jedoch die Umformung an sich.

Zitat:

Wenn ich n+1 anwende, komme ich gleich auf das "Endergebnis", frage mich jedoch, was die gemacht haben bzw. welche Überlegung hinter den Zwischenschritten steckt.

Widerspricht sich das nicht etwas?

Also man könnte natürlich so Argumentieren: $\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1}=(1+x)\cdot(1+x)^n\stackrel{\stackrel{\text{IV}}{\geq}}{} (1+x)\cdot(1+nx) \stackrel{\stackrel{\text{ausmultiplizieren}}{=}}{}1+(n+1)\cdot x+nx^2 \stackrel{\stackrel{x^2\geq 0}{\geq}}{}1+(n+1)\cdot x \end{eqnarray*}$ .

Natürlich gehört zu einem Beweis auch immer eine gewisse Intuition und man sollte außerdem sein Ziel vor Augen behalten Augenzwinkern

Augenzwinkern

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22.09.2014, 22:09

balance

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Vorsicht: Bei der ersten Frage war die Umformung klar, die Hinweise jedoch unklar, bei der zweiten Frage war die "Umformung" unklar bzw. der Schritt. smile

smile

Hoffe nun ist klar was ich nicht verstehe.

Danke, ich werd mir dein POst kurz genauer anschauen, wollte nur die Verwirrung auflösen.

23.09.2014, 01:41

Stephan Kulla

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@balance: Dir ist das grundlegende Prinzip der vollständigen Induktion bekannt? Also:

1) Induktionsanfang: Aussageform für n=1 beweisen
2) Induktionsschritt: Aus der Annahme der Aussageform für n=k beweist du die Aussageform für n=k+1

Konkret für dieses Beispiel lautet es:

1) Induktionsanfang: Beweis der Ungleichung: $\begin{eqnarray*} (1+x)^1 \ge 1+1\cdot x \end{eqnarray*}$
2) Induktionsschritt: Man nimmt an, dass $\begin{eqnarray*} (1+x)^k \ge 1+k\cdot x \end{eqnarray*}$ bereits gilt und muss nun beweisen, dass $\begin{eqnarray*} (1+x)^{k+1} \ge 1+(k+1)\cdot x \end{eqnarray*}$ .

Dies erklärt, warum man im Induktionsschritt scheinbar genau die Ungleichung benutzt, die man durch die Induktion später beweisen will. Wenn dir unklar sein sollte, wieso obige zwei Schritte einen validen Beweis darstellen, dann lese dir bitte diesen Artikel zur vollständigen Induktion durch.

23.09.2014, 09:25

HAL 9000

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Ich vermisse etwas entscheidendes, und zwar im gesamten Thread:

Für welche $\begin{align*} x \end{align*}$ soll die Ungleichung bewiesen werden? Sicher nicht für alle $\begin{align*} x\in\mathbb{R} \end{align*}$ . unglücklich

unglücklich

Üblicherweise fordert man $\begin{align*} x\geq -1 \end{align*}$ , denn der Umformungsschritt

$\begin{align*} (1+x)^n \cdot (1+x) \geq (1+nx)(1+x) \end{align*}$

scheitert im Fall $\begin{align*} x< -1 \end{align*}$ .

23.09.2014, 09:30

bijektion

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@HAL: Ich denke, da es hier um die Bernoullische Ungleichung geht sollte die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} x\geq -1 \end{eqnarray*}$ klar sein.
Aber ein Hinweis kann ja sicher nicht schaden.

23.09.2014, 09:35

HAL 9000

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Warum wohl habe ich den Beweisschritt nochmal genannt, über den gedankenlos hinweggegangen wurde? Ich glaub dir gern, dass dir klar ist, dass da $\begin{align*} x\geq -1 \end{align*}$ benötigt wird - bei balance bin ich mir da schon nicht mehr sicher.

23.09.2014, 19:37

balance

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Danke für die Antworten, doch ich bin immernoch verwirrt. Natürlich gilt eure Bedingung für x, hab ich vergessen hinzuschreiben.

Also, mit dem Prinzip der V. I. habe ich kein Problem. Kommen wir davon ein wenig weg. Im Prinzip macht man ja A(n+1)=A(n)+letztes Element, das ist ja das was Stephan anspricht.

Mein Problem liegt vielmehr bei der Ungleichung. Ich konnte viel Verwirrung bereits beseitigen, ich habe die Hinweise völlig falsch gelesen. Im Grunde komme ich auf den Vorletzten Term, doch verstehe ich zwei Sachen noch nicht.

Ich rechne mal vor und kommentiere: (Die Gültigkeitsbereiche sind wie im Eingangspost)

I.Annahme
$\begin{eqnarray*} A(n): (1+x)^n \ge 1+nx \end{eqnarray*}$

I. Verankerung - Hier gucke ich, ist die Annahme den überhaupt korrekt für irgendeine Zahl (N)

I. Schritt
Ich berechne A(n+1) um zu wissen, wass es geben soll.
$\begin{eqnarray*} A(n+1): (1+x)^{n+1} \ge 1+(n+1)x=1+nx+x \end{eqnarray*}$

Nun drücke ich es anderst aus:
$\begin{eqnarray*} A(n+1): (1+x)^{n+1} \ge A(N) \cdot (1+x)=(1+nx) \cdot (1+x)=1+x+nx+nx^2 \end{eqnarray*}$

So, nun bin ich verwirrt.
1. Das Buch und auch ihr hier fährt weiter mit: $\begin{eqnarray*} \ge 1+(n+1)x \end{eqnarray*}$
Wieso das grösser gleich? Ich bin doch breits auf der rechten Seite der Gleichung, ich würde hier nur noch reine Umformung erwarten. (Also ein gleich) Konkret: Wieso ein grösser gleich?

2. Anscheinend gilt ja $\begin{eqnarray*} nx^2\ge0 \end{eqnarray*}$ , da der Beweis stimmen würde, sofern durch diese Behauptung der Term wegfliegt, nehme ich an, das sollte mir was sagen, was ich nicht sehe. Ich hab absolut keine Idee was hier passiert. Mir ist klar, dass die eine Klammer 0 wird und ich dann auf der rechten seite eine 0 habe, doch ändert dies nichts an der Gültigkeit der Annahme, naja, denke ich zumindest. Konkret: Wieso fliegt nx^2 weg?

Ich habe halt absolut keine Erfahrungen mit Ungleichungen (und Summen), aber egal. Hoffe, mein Problem nun spezifiziert zu haben. smile

smile

Edit: Ich hoffe ich darf die Rechnung oben mit A(n) etc schreiben, denke jedoch, meine Idee bzw. Intention sollte klar sein.

24.09.2014, 00:22

Stephan Kulla

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Zitat:

Also, mit dem Prinzip der V. I. habe ich kein Problem. Kommen wir davon ein wenig weg. Im Prinzip macht man ja A(n+1)=A(n)+letztes Element, das ist ja das was Stephan anspricht.

Nein, dem ist nicht so. Dies kommt als Spezialfall beim Beweis von Summenformeln häufig vor, muss aber auch nicht. Das Prinzip im Induktionsschritt ist so:

Du gehst davon aus, dass die zu beweisende Aussageform für ein n erfüllt ist und beweist mit dieser Annahme, dass die Aussageform auch für n+1 gilt.

Angewandt auf dieses Beispiel: Du gehst davon aus, dass $\begin{eqnarray*} (1+x)^n \ge 1+nx \end{eqnarray*}$ ist und beweist damit $\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1} \ge 1 + (n+1)x \end{eqnarray*}$ .

(1) Um $\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1} \ge 1 + (n+1)x \end{eqnarray*}$ zu zeigen, beginnst du mit $\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1} \end{eqnarray*}$ und schreibst es um in $\begin{eqnarray*} (1+x)^n (1+x) \end{eqnarray*}$
(2) Nun nimmst du ja bereits an, dass $\begin{eqnarray*} (1+x)^n \ge 1+nx \end{eqnarray*}$ ist. Also ist $\begin{eqnarray*} (1+x)^n (1+x) \ge (1+nx)(1+x) \end{eqnarray*}$
(3) Weiter ist $\begin{eqnarray*} (1+nx)(1+x)=1+nx+x+nx^2 \end{eqnarray*}$ . Weil $\begin{eqnarray*} nx^2\ge 0 \end{eqnarray*}$ ist, ist $\begin{eqnarray*} 1+nx+x+nx^2 \ge 1+nx+x = 1+(n+1)x \end{eqnarray*}$ .
(4) Insgesamt hast du so $\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1} \ge 1 + (n+1)x \end{eqnarray*}$ bewiesen. Dabei hast du in Schritt (2) die Annahme $\begin{eqnarray*} (1+x)^n \ge 1+nx \end{eqnarray*}$ benutzt.

24.09.2014, 00:29

Stephan Kulla

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Zitat:

Original von balance

So, nun bin ich verwirrt.
1. Das Buch und auch ihr hier fährt weiter mit: $\begin{eqnarray*} \ge 1+(n+1)x \end{eqnarray*}$
Wieso das grösser gleich? Ich bin doch breits auf der rechten Seite der Gleichung, ich würde hier nur noch reine Umformung erwarten. (Also ein gleich) Konkret: Wieso ein grösser gleich?

Siehe mein Post oben: Du willst $\begin{eqnarray*} (x+1)^{n+1} {\color{red} \ge} 1+(n+1)x \end{eqnarray*}$ im Induktionsschritt beweisen. Um diese Ungleichung zu zeigen, kannst du mit $\begin{eqnarray*} (x+1)^{n+1} \end{eqnarray*}$ und beliebig oft Abschätzungen nach unten machen, bis du auf $\begin{eqnarray*} 1+(n+1)x \end{eqnarray*}$ kommst.

Zitat:

2. Anscheinend gilt ja $\begin{eqnarray*} nx^2\ge0 \end{eqnarray*}$ , da der Beweis stimmen würde, sofern durch diese Behauptung der Term wegfliegt, nehme ich an, das sollte mir was sagen, was ich nicht sehe. Ich hab absolut keine Idee was hier passiert. Mir ist klar, dass die eine Klammer 0 wird und ich dann auf der rechten seite eine 0 habe, doch ändert dies nichts an der Gültigkeit der Annahme, naja, denke ich zumindest. Konkret: Wieso fliegt nx^2 weg?

Korrekt, es ist $\begin{eqnarray*} nx^2\ge0 \end{eqnarray*}$ . n ist als natürliche Zahl immer größer gleich 0 und Quadratzahlen wie x² sind auch immer größer gleich 0. Das Produkt aus zwei Zahlen größer gleich 0 ist auch stets immer größer gleich 0.

PS: Mir scheint, dass du noch nicht das allgemeine Prinzip der vollständigen Induktion verstanden hast. Du vergleichst diese Aufgabe zu sehr mit Induktionsaufgaben für Summen. Das Prinzip der vollständigen Induktion ist viel allgemeiner. Im Induktionsschritt geht es nur darum A(n+1) zu beweisen, wobei du A(n) benutzen darfst. Es gibt aber keine Einschränkungen dafür, wie du A(n+1) zeigen musst. Alles, was valide mathematische Beweise sind, sind erlaubt.

24.09.2014, 16:00

balance

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edit ...ich glaub ich habs gerade gepackt...

24.09.2014, 19:32

balance

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Ich möchte mich noch bedanken. Ich habe mich in einem "falschen" Gedanken verirrt sozusagen. Nun machen einige Anmerkungen von euch auch viel mehr Sinn.

Ich danke! Erfreulich, dass die Antwort so simpel war. (Das Problem war wirklich nur, dass ich nicht sah, dass man xn^2 ja einfach "ignorieren" kann, da es dann ja immernoch grösser gleich ist und die Ungleichung somit immernoch stimmt.)

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