Nichtexpansivität der Projektion

24.09.2014, 12:34	still_1308	Auf diesen Beitrag antworten »
Nichtexpansivität der Projektion Meine Frage: Hallo zusammen, ich kämpfe gerade mit der Nichtexpansivität der Projektion. Mir fällt vllt. was einfaches im Beweis gerade nicht ein, da für mich das irgednwie klar ist. Wir haben folgende Aussage: $\begin{eqnarray} U \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ geschlossen und konvex, $\begin{eqnarray} P: \mathbb{R}^n \rightarrow U \end{eqnarray}$ Projektion. Für alle $\begin{eqnarray} y_1 , y_2 \in U \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \\| P (y_1) - P (y_2) \\| \leq \\| y_1-y_2\\| \end{eqnarray}$ . Nun Beweis: Es gilt $\begin{eqnarray} \langle y_1-P(y_1),P(y_2)-P(y_1)\rangle \leq 0 \end{eqnarray}$ und ebenso $\begin{eqnarray} \langle y_2-P(y_2),P(y_1)-P(y_2) \rangle \leq 0 \end{eqnarray}$ . Und hier kommt's. Ich möchte die beiden Ungleichungen addieren und somit erhalte Folgendes $\begin{eqnarray} \langle y_2-y_1+P(y_1)-P(y_2),P(y_1)-P(y_2)\rangle \leq 0 \end{eqnarray}$ . Ich sollte diese Addition ausfüllicher schreiben. Wie kann ich es tun? Rest des Beweises erhalte ich durch die Anwendung der Linearität des inneren Produktes und der Cauchy-Schwarz-Ungleichung, d.h $\begin{eqnarray} \langle y_2-y_1,P(y_1)-P(y_2)\rangle + \langle P(y_1)-P(y_2),P(y_1)-P(y_2)\rangle \leq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \langle y_2- y_1,P(y_1)-P(y_2)\rangle + \\|P(y_1)-P(y_2)\\|^2 \leq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \\| P(y_1)-P(y_2) \\|^2 \leq -\langle y_2-y_1,P(y_1)-P(y_2)\rangle \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \\| P(y_1)-P(y_2)\\|^2 \leq - \langle y_2,P(y_1)-P(y_2)\rangle + \langle y_1,P(y_1)-P(y_2)\rangle \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \\|P(y_1)-P(y_2)\\|^2 \leq \langle y_1-y_2,P(y_1)-P(y_2)\rangle \end{eqnarray}$ mit C.S.U folgt $\begin{eqnarray} \\|P(y_1)-P(y_2)\\|^2 \leq \\| y_1-y_2\\| \\|P(y_1)-P(y_2)\\| \end{eqnarray}$ =>Beh. Kann mir jemand bitte weiterhelfen? Meine Ideen: Ich kann doch $\begin{eqnarray} \langle y_1-P(y_1),P(y_2)-P(y_1)\rangle \leq 0 \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} - \langle y_1-P(y_1),P(y_1)-P(y_2)\rangle \leq 0 \end{eqnarray}$ umstellen und dann ganz normal die beiden Skalarprodukte addieren oder?
09.10.2014, 17:48	PK	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich behaupte, dass Deine Idee in Ordnung ist. Noch ausführlicher geht danach auch nicht mehr. Der Lesbarkeit halber drehst Du am besten schon an der Stelle, wo Du dass $\begin{eqnarray} \langle y_2-y_1, P(y_1)-P(y_2)\rangle \end{eqnarray}$ auf die andere Seite ziehst, das Vorzeichen im ersten Argument des Skalaprodukts um, also $\begin{eqnarray} ...\leq \langle y_1-y_2, P(y_1)-P(y_2)\rangle \end{eqnarray}$ .

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