Lineares Gleichungssystem mit zwei unbekannten Koeffizienten |
24.09.2014, 16:40 | ubik | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Lineares Gleichungssystem mit zwei unbekannten Koeffizienten es ist das folgende lineare Gleichungssystem: Die Frage ist: Für welche ist das lineare Gleichungssystem lösbar? Meine Lösung: Wir setzen das lineare Gleichungssystem in eine erweiterte Koeffizientenmatrix und berechnen den Rang, um die Lösbarkeit zu bestimmen. Wir wenden folgende Zeilenoperationen an (Zi: i-te Zeile): Z2 - Z1, Z3 - 2*Z1, Z3 + 2*Z1 Und dann? Ich weiß irgendwie nicht weiter. Kann man den Rang dieser Matrix überhaupt berechnen? |
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24.09.2014, 16:56 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Soweit stimmt es, aber Du hast erst eine Stufe bestimmt. Jetzt kommt die nächste Stufe dran, nämlich die dritte Spalte. Wie bekommst Du die 1 in der dritten und die 3 in der vierten Zeile weg? |
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24.09.2014, 17:03 | ubik | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
3. Zeile - 2. Zeile: Aber was ist jetzt mit der vierten Zeile? Das ist mein eigentliches Problem. |
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24.09.2014, 17:06 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du kriegst die drei da wirklich nicht weg? Eventuell mit der 1, die in der zweiten Zeiel steht? |
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24.09.2014, 17:14 | ubik | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gut. 4. Zeile minus das dreifache der 2. Zeile: Letzte Zeile durch -12 teilen: Und was sagt mir das jetzt? Bin ich schon fertig? Ich weiß ehrlich gesagt nicht, was das Ziel ist. Ich wende den Gaussalgorithmus an, aber es kommt nichts gescheites raus. |
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24.09.2014, 17:18 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da geht noch mehr Du musst mittels Gauß doch eine vollständieg Zeilenstufenform erreichen und die hast Du noch nicht, da die letzte Zeile noch stört. Ich würde nun die beiden letzten vertauschen und dann das a eliminieren. Erst dann hast Du die vollständige Form erreicht und kannst sicher eine Aussage über den Rang treffen. Diese wird natürlich von a und b abhängen. |
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24.09.2014, 17:19 | ubik | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was ich bloß nicht verstehe: Wie kann ich a eliminieren? Dann wäre mir so einiges klarer. |
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24.09.2014, 17:20 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was würdest Du tun, wenn da eine 3 stehen würde? Was bei einer 8? Genau das machst Du dann auch mit dem a. |
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24.09.2014, 17:28 | ubik | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Achso, so einfach geht's: Die dritte Zeile mit der vierten vertauschen Z4 - a*Z3 Ist das lineare Gleichungssystem dann nicht lösbar? Oder nur unter der Bedingung, dass 2 - a*(-(b + 5) / 12) = 0 ist? |
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24.09.2014, 17:31 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du kannst erst einmal nur erkennen, dass es keine eindeutige Lösung gibt. Entweder ist es nicht lösbar, oder es besitzt unendlich viele Lösungen. Darüber entscheidet allein die letzte Zeile, denn dort steht Entscheidend ist nun, für welche Werte von a und b diese Gleichung eine Lösung besitzt. |
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24.09.2014, 17:34 | ubik | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ahja, vielen Dank für die Hilfe! |
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24.09.2014, 18:06 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Für den Fall, dass es noch komplizierter wird, aber auch hier: schon beim Multiplizieren mit a 2 Fälle unterscheiden: A.) a=0 und das sofort in das System einbauen, dann folgt hier direkt 0=2 B.) und normal weitermachen. Man braucht dann nicht alle Bedingungen aus der letzten Zeile entnehmen. Wie gesagt: vor allem wenn's noch komplizierter wird. |
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25.09.2014, 16:25 | ubik | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Eine Frage noch: Wenn ich die Lösungsmenge aufschreiben möchte, wie mache ich das dann mit den zwei Fällen, dass ist? Ich habe ja zwei mal ... Die anderen Variablen sind: |
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25.09.2014, 17:41 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du darfst erst mit den erhofften Lösungen beginnen ( rückwärts einsetzen ), wenn Staffelform vorliegt. also: für a=0 ist das System nicht lösbar. B.) ansonsten könnte man Obiges umformen zu: b=-5- 24/a und darauf hoffen, dass das System dann eine eindimensionale Lösung besitzt. Das ist leider nicht der Fall. Das System ist meiner Meinung nach immer unlösbar. |
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25.09.2014, 17:54 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Lineares Gleichungssystem mit zwei unbekannten Koeffizienten Doch, das Gleichungssystem ist für bestimmte Werte von a und b lösbar (sagt jedenfalls Wolframalpha, zum Selbstrechnen hatte ich jetzt keine Lust ). Ganz am Anfang ist ein Fehler:
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25.09.2014, 18:47 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
aha ! man lernt nie aus. Ein Beispiel wäre nicht schlecht. Und wie bestimmt man diese Paare zielgerichtet |
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25.09.2014, 19:07 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aus b+5 wird dann b+7, aber es ändert ja prinzipiell nichts an der letzten Gleichung Für jedes Paar, das diese Gleichung erfüllt, ist das GLS lösbar. Beispielsweise für a=-2 und b=5 |
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25.09.2014, 19:07 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So, wie oben schon geschehen. Nach der Korrektur erhält man . Für alle a,b, die diese Gleichung erfüllen, ist das LGS lösbar. |
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25.09.2014, 19:12 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Korrektur Ich habe verwendet, richtig wäre aber damit ist eine eindimensionale Lösung tatsächlich möglich edit: siehe oben ! |
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26.09.2014, 09:35 | ubik | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Lineares Gleichungssystem mit zwei unbekannten Koeffizienten Danke nochmal für die Ausführungen. Aber diese eine Antwort auf meine Frage brauche ich noch: Wie sieht die Lösungsmenge aus?
Ja, richtig. Habe mich vertan. |
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26.09.2014, 12:26 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
in Vektoren kannst sicher selbst umwandeln. |
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