Lineares Gleichungssystem mit zwei unbekannten Koeffizienten

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ubik Auf diesen Beitrag antworten »
Lineares Gleichungssystem mit zwei unbekannten Koeffizienten
Hallo,

es ist das folgende lineare Gleichungssystem:






Die Frage ist: Für welche ist das lineare Gleichungssystem lösbar?

Meine Lösung:

Wir setzen das lineare Gleichungssystem in eine erweiterte Koeffizientenmatrix und berechnen den Rang, um die Lösbarkeit zu bestimmen.



Wir wenden folgende Zeilenoperationen an (Zi: i-te Zeile):

Z2 - Z1, Z3 - 2*Z1, Z3 + 2*Z1



Und dann?

Ich weiß irgendwie nicht weiter. Kann man den Rang dieser Matrix überhaupt berechnen?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Soweit stimmt es, aber Du hast erst eine Stufe bestimmt.
Jetzt kommt die nächste Stufe dran, nämlich die dritte Spalte. Wie bekommst Du die 1 in der dritten und die 3 in der vierten Zeile weg?
ubik Auf diesen Beitrag antworten »

3. Zeile - 2. Zeile:



Aber was ist jetzt mit der vierten Zeile? Das ist mein eigentliches Problem.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Du kriegst die drei da wirklich nicht weg? Eventuell mit der 1, die in der zweiten Zeiel steht? Augenzwinkern
ubik Auf diesen Beitrag antworten »

Gut. 4. Zeile minus das dreifache der 2. Zeile:



Letzte Zeile durch -12 teilen:



Und was sagt mir das jetzt? Bin ich schon fertig?

Ich weiß ehrlich gesagt nicht, was das Ziel ist. Ich wende den Gaussalgorithmus an, aber es kommt nichts gescheites raus.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Da geht noch mehr Augenzwinkern
Du musst mittels Gauß doch eine vollständieg Zeilenstufenform erreichen und die hast Du noch nicht, da die letzte Zeile noch stört. Ich würde nun die beiden letzten vertauschen und dann das a eliminieren. Erst dann hast Du die vollständige Form erreicht und kannst sicher eine Aussage über den Rang treffen.
Diese wird natürlich von a und b abhängen.
 
 
ubik Auf diesen Beitrag antworten »

Was ich bloß nicht verstehe: Wie kann ich a eliminieren?

Dann wäre mir so einiges klarer.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Was würdest Du tun, wenn da eine 3 stehen würde? Was bei einer 8?
Genau das machst Du dann auch mit dem a.
ubik Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, so einfach geht's:

Die dritte Zeile mit der vierten vertauschen



Z4 - a*Z3



Ist das lineare Gleichungssystem dann nicht lösbar?

Oder nur unter der Bedingung, dass 2 - a*(-(b + 5) / 12) = 0 ist?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst erst einmal nur erkennen, dass es keine eindeutige Lösung gibt. Entweder ist es nicht lösbar, oder es besitzt unendlich viele Lösungen.
Darüber entscheidet allein die letzte Zeile, denn dort steht


Entscheidend ist nun, für welche Werte von a und b diese Gleichung eine Lösung besitzt.
ubik Auf diesen Beitrag antworten »

Ahja, vielen Dank für die Hilfe!
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Für den Fall, dass es noch komplizierter wird, aber auch hier:

schon beim Multiplizieren mit a 2 Fälle unterscheiden:

A.) a=0
und das sofort in das System einbauen, dann folgt hier direkt 0=2

B.) und normal weitermachen.


Man braucht dann nicht alle Bedingungen aus der letzten Zeile entnehmen.

Wie gesagt: vor allem wenn's noch komplizierter wird. Augenzwinkern
ubik Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Frage noch:

Wenn ich die Lösungsmenge aufschreiben möchte, wie mache ich das dann mit den zwei Fällen, dass





ist?

Ich habe ja zwei mal ...

Die anderen Variablen sind:



Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Helferlein
Du kannst erst einmal nur erkennen, dass es keine eindeutige Lösung gibt. Entweder ist es nicht lösbar, oder es besitzt unendlich viele Lösungen.
Darüber entscheidet allein die letzte Zeile, denn dort steht


Entscheidend ist nun, für welche Werte von a und b diese Gleichung eine Lösung besitzt.


Du darfst erst mit den erhofften Lösungen beginnen ( rückwärts einsetzen ), wenn Staffelform vorliegt.

also: für a=0 ist das System nicht lösbar.

B.) ansonsten könnte man Obiges umformen zu: b=-5- 24/a und darauf hoffen, dass das System dann eine eindimensionale Lösung besitzt.

Das ist leider nicht der Fall. Das System ist meiner Meinung nach immer unlösbar.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineares Gleichungssystem mit zwei unbekannten Koeffizienten
Doch, das Gleichungssystem ist für bestimmte Werte von a und b lösbar (sagt jedenfalls Wolframalpha, zum Selbstrechnen hatte ich jetzt keine Lust Augenzwinkern ).
Ganz am Anfang ist ein Fehler:
Zitat:
Original von ubik
Wir setzen das lineare Gleichungssystem in eine erweiterte Koeffizientenmatrix und berechnen den Rang, um die Lösbarkeit zu bestimmen.



Wir wenden folgende Zeilenoperationen an (Zi: i-te Zeile):

Z2 - Z1, Z3 - 2*Z1, Z3 + 2*Z1 da sollte doch bestimmt Z4 stehen

Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

aha ! man lernt nie aus. Ein Beispiel wäre nicht schlecht. Und wie bestimmt man diese Paare zielgerichtet verwirrt
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Aus b+5 wird dann b+7, aber es ändert ja prinzipiell nichts an der letzten Gleichung


Für jedes Paar, das diese Gleichung erfüllt, ist das GLS lösbar. Beispielsweise für a=-2 und b=5
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
Und wie bestimmt man diese Paare zielgerichtet verwirrt

So, wie oben schon geschehen. Nach der Korrektur erhält man . Für alle a,b, die diese Gleichung erfüllen, ist das LGS lösbar.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Korrektur

Ich habe


verwendet, richtig wäre aber

damit ist eine eindimensionale Lösung tatsächlich möglich smile

edit: siehe oben ! Schläfer
ubik Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineares Gleichungssystem mit zwei unbekannten Koeffizienten
Danke nochmal für die Ausführungen.

Aber diese eine Antwort auf meine Frage brauche ich noch:

Wie sieht die Lösungsmenge aus?

Zitat:
Original von 10001000Nick1
Doch, das Gleichungssystem ist für bestimmte Werte von a und b lösbar (sagt jedenfalls Wolframalpha, zum Selbstrechnen hatte ich jetzt keine Lust Augenzwinkern ).
Ganz am Anfang ist ein Fehler:
Zitat:
Original von ubik
Wir setzen das lineare Gleichungssystem in eine erweiterte Koeffizientenmatrix und berechnen den Rang, um die Lösbarkeit zu bestimmen.



Wir wenden folgende Zeilenoperationen an (Zi: i-te Zeile):

Z2 - Z1, Z3 - 2*Z1, Z3 + 2*Z1 da sollte doch bestimmt Z4 stehen



Ja, richtig. Habe mich vertan.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »



in Vektoren kannst sicher selbst umwandeln.
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