Darstellende Matrix

24.09.2014, 19:53

Lero1

Darstellende Matrix

Meine Frage:
Bestimmen Sie eine darstellende Matrix der zugehörigen Abbildung von A bezüglich der Basis
B:=\left\{ \vec{e}_{3},vec{e}_{1},vec{e}_{2}-vec{e}_{1} \right\}

A=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}

Meine Ideen:
Ich bin davon augegangen, dass e1,e2 und e3 die Vektoren meiner Matrix A darstellen... bedeutet das, dass meine darstellende Matrix einfach \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & -2 \end{pmatrix} ???
MfG Lero1

24.09.2014, 20:04

bijektion

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Soll $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine Lineare Abbildung sein? Was ist dann $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot e_i \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i=1,2,3 \end{eqnarray*}$ ?

Oder ist es eine andere Basis?

24.09.2014, 20:20

Lero1

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Darstellende Matrix
Irgendwie hat das nicht so ganz geklappt mit der Eingabe smile

A ist die Matrix mit z1: 3,1,0 z2: 0,(2),0 z3: 0,0,2 Die 2 ist eingesetzt für alpha
z für Zeile Big Laugh

Bestimmen Sie eine darstellende Matrix der zugehörigen Abbildung von
A2 bezüglichder Basis B:={e3,e1,e2-e2}

24.09.2014, 20:27

bijektion

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Du musst die Latexstellen makieren und dann die f(x)-Taste oben drücken smile

Du musst einfach $\begin{eqnarray*} A\cdot e_3 = \lambda_{11} e_3 + \lambda_{21}\cdot e_1 + \lambda_{31}\cdot (e_2-e_1) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} A\cdot e_1 = \lambda_{12} e_3 + \lambda_{22}\cdot e_1 + \lambda_{32}\cdot (e_2-e_1) \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} A\cdot (e_2-e_1) =\lambda_{13} e_3 + \lambda_{23}\cdot e_1 + \lambda_{33}\cdot (e_2-e_1) \end{eqnarray*}$ nach den $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ 's auflösen.

Die gesuchte Matrix ist dann $\begin{eqnarray*} M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}(f)=(\lambda_{ij})_{1\leq i,j\leq 3} \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die Standardabbildung zu $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist.

24.09.2014, 20:42

Lero1

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Darstellende Matrix
Also muss ich jetzt einfach gesagt die Werte meiner MAtrix für Lambda einsetzen?
Vielen Dank für die Mühe smile

24.09.2014, 20:46

bijektion

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Nein, du musst die Linearkombination von $\begin{eqnarray*} A\cdot e_3 \end{eqnarray*}$ etc. bestimmen, die $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ 's sind die Koeffizienten smile

24.09.2014, 20:59

Lero1

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Darstellende Matrix
Wofür steht dann der Index an den Lambdas und ich habe angenommen das die e´s die Spaltenvektoren von A sind?! Big Laugh

24.09.2014, 21:06

bijektion

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Die Indizes habe ich benutzt, damit die Matrix dann die Form $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda_{11} & \lambda_{12} & \lambda_{13}\\ \lambda_{21} &\lambda_{22} & \lambda_{23} \\ \lambda_{31} & \lambda_{32}& \lambda_{33} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hat.

Du hast doch sogar gesagt, dass $\begin{eqnarray*} \mathcal{B}=\left\{ e_3,e_1,e_2-e_1\right\} \end{eqnarray*}$ eine Basis ist?

Allgemein: In den Spalten der Abbildungsmatrix stehen die Koeffizienten, die du benötigst, um $\begin{eqnarray*} f(v) \end{eqnarray*}$ in der Basis $\begin{eqnarray*} \mathcal{B} \end{eqnarray*}$ darzustellen. Und das ganze machst du für jedes $\begin{eqnarray*} v\in\mathcal{B} \end{eqnarray*}$ .

24.09.2014, 21:20

Lero1

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Darstellende Matrix
Okay ich habe jetzt verstanden wie die Berechnung funktioniert und warum Augenzwinkern

Aber 1 noch^^
Ist e1 (3,0,0) also quasi meine erste Matrixspalte?
Weil wenn nicht werde ich ja ziemlich viele Unbekannte in der Matrix haben... sry das ich so auf dem Schlauch stehe -.-

24.09.2014, 21:36

bijektion

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Zitat:

Ist e1 (3,0,0) also quasi meine erste Matrixspalte?

Nein. Es ist $\begin{eqnarray*} e_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} e_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e_3=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Ich rechne es mal für den ersten Basisvektor vor: $\begin{eqnarray*} A\cdot e_3 = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , jetzt ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ als Linearkombination darzustellen, du musst also $\begin{eqnarray*} \lambda_{11},\lambda_{21},\lambda_{31} \end{eqnarray*}$ bestimmen, sodass
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} = \lambda_{11} e_3 + \lambda_{21}\cdot e_1 + \lambda_{31}\cdot (e_2-e_1) \end{eqnarray*}$ .

In diesem Fall ist das natürlich einfach, denn wir wählen $\begin{eqnarray*} \lambda_{11}=3,\lambda_{21}=0,\lambda_{31}=0 \end{eqnarray*}$ .

Diese Prozedur machst du jetzt für jeden Vektor aus $\begin{eqnarray*} \mathcal{B} \end{eqnarray*}$ und trägst es in die Matrix ein, wie oben bereits beschrieben.

24.09.2014, 21:40

Lero1

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Darstellende Matrix
Vielen vielen Dank,
Du hast mir sehr geholfen!
MfG

24.09.2014, 21:47

bijektion

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Gut, gerne Wink

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