Betrag eines Summenvektors und Skalarprodukt |
| 25.09.2014, 12:54 | karrrrrriiiiiiiiiii | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Betrag eines Summenvektors und Skalarprodukt Hallo. ich frage mich, ob der Betrag eines Summenvektors zweier Vektoren das gleiche ergibt, wie deren Skalarprodukt. Meine Ideen: Wenn ich für zwei Vektoren nur deren jeweiligen Betrag gegeben habe und dann den jeweiligen Betrag mit Cosinus Alpha multipliziere und beides addiere, habe ich ja den Betrag des Summenvektors (also geometrisch gesehen die beiden Hypotenusen). Wenn ich ein Skalarprodukt berechnen will, dann kann ich ja auch die Beträge der beiden Vektoren mal dem cos Alpha nehmen. Ist es also das gleiche? |
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| 25.09.2014, 13:33 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein, das ist nicht so. Beispielsweise müsste ja dann für jeden Vektor folgendes gelten: . Das ist z.B. für nicht erfüllt. |
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| 25.09.2014, 13:45 | karrriiii | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Danke schonmal. Ich frage wegen folgender Aufgabe: Der Bizeps-Muskel am Oberarm hat zwei Köpfe, d.h die Köpfe entsprigen an zwei verschiedenen Stellen, greifen jedoch an der gleichen Stelle am Unterarm an. die beiden Muskeln verlaufen nicht parallel, sondern schleißen einen Winkel von 20° gegen die Mittelsenkrechte ein. Jeder der beiden Muskeln entwickelt eine Kraft F1 (Vektor) und F2 (Vektor) von 100N. Wie groß ist die resultierende gemeinsame Kraft beider Muskeln? Die Lösung ist folgende: (|F1|+|F2|)cos(Alpha), 200* cos (10)=197, dies ist der Betrag des Summenvektors (also die Länge). Im Buch steht bei Skalarproduktberechnung: |Vektor a| |Vektor b| cos(Alpha)= Vektor a * Vektor b Ist das dann nicht genau die gleiche Rechnung??? |
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| 25.09.2014, 13:56 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ein Bizeps hat Köpfe? Das habe ich noch nie gehört (was wahrscheinlich daran liegt, dass meine anatomischen Kenntnisse genau so wie mein Bizeps nicht allzu stark ausgeprägt sind 
)Damit wir hier nicht aneinander vorbei reden, mal eine Skizze: [attach]35487[/attach] Ist das so gemeint? |
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| 25.09.2014, 13:57 | kaaaarrriii | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok, am ende rechne ich nicht mal Alpha, sondern mal 0.5 Alpha, weil es zur Mittelsenkrechten berechnet wird, also cos (10) statt cos(20). |
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| 25.09.2014, 14:03 | Kaaaarriii | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, genau so soll das aussehen. Zwischen den beiden Vektoren kann man jetzt eine mittelsenkrechte ziehen und dann z.B. die Vektoren hintereinander legen (also addieren). der Strich, der jetzt den Anfang des ersten Vektors mit der Spitze des zweiten Vektors verbindet ist dann ja der betrag des Summenvektors. Da ich ja aber nur die Angaben jew. 100 habe, kann ich ja nur so rechen, indem ich die Vektoren einzeln, zusammen mit der Mittelsenkrechten als Dreieck sehe und dann wegen cos (Alpha) = b/c den Teil dieser Verbindung für beide ausrechne (bzw. hier mal zwei nehme) |
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| 25.09.2014, 14:19 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Um die resultierende Kraft zweier solcher Kräfte zu berechnen, benutzt man ein Kräfteparallelogramm: [attach]35488[/attach] Die Diagonale des Parallelogramms ist die resultierende Kraft . Hier hast du ein spezielles Parallelogramm, eine Raute (wegen ). Und da berechnet man die Länge der Diagonalen mit . Wären die Beträge der beiden Kräfte nicht gleich groß, hätte man keine Raute mehr, und müsste dann die Formel verwenden, siehe Formeln zum Parallelogramm. (Dabei ist immer der von den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel) |
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| 25.09.2014, 14:36 | kaaarrrriii | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Danke, so habe ich es gemacht. Ich war wohl verwirrt, weil ich den Winkel zwischen der mittelsenkrechten und dem Vektor einfach Alpha genannt habe und es dann genau wie die Formel fürs Skalarprodukt aussah. Genommen habe ich mit 10° ja aber schon 0.5 Alpha. Danke auch für die Formel, wenns mal nicht gleich ist! |
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| 25.09.2014, 15:00 | kaaarrriii | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Doch noch mal ne Frage zum Fall, dass beide Vektoren verschieden lang sind. Warum kann ich dann nicht |F1|cos(0.5 Alpha) + |F2|cos(0.5alpha) rechnen? müssten die Winkel dann nicht trotzdem beide bei 10° bleiben? Also ich habe es mal mit F1=100 und F2 =200 durchgerechnet und bei beiden Methoden ne Abweichung von ca. 0.4 raus. |
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| 25.09.2014, 15:07 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Einfache Antwort: Weil diese Formel für die resultierende Kraft nicht stimmt.
Daran siehst du doch schon, dass das nicht stimmen kann. Es ist hier eher Zufall, dass die Abweichung nur so klein ist.
In einem allgemeinen Parallelogramm sind die Diagonalen keine Winkelhalbierenden. |
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| 25.09.2014, 15:25 | kaarrriii | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok, kann so natürlich nicht stimmen, weil der Winkel sich ändert. Wenn ich aber den Winkel bestimme, dann kann ich das genau wie vorher machen, indem ich dann statt 10 4.97 einsetze. Da kommt das gleiche raus, wie mit der anderen Formel. sorry, deine Formel stimmt ja 100%tig, nur ums nachzuvollziehen, muss ich es immer auch so rechnen, wie ich es mit meinen bisherigen Kenntnissen machen würde. |
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| 25.09.2014, 17:30 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
[attach]35492[/attach] Mit den Bezeichnungen aus der Skizze ist (der erste Summand ist die Länge des blauen Abschnitts, der zweite Summand die Länge des grünen Abschnitts). |
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