Permutationsgruppen

16.08.2004, 15:13

outlast

Permutationsgruppen

Hallo zusammen!

Ich verstehe eingermassen die Gruppenaxiome. Leider aber nicht die sogenannten Permutationsgruppen. Kann mir da jemand ein einfaches & anschauliches Beispiel geben um was es da genau ged? Hilfe

Danke für eure Mühe. outlast

16.08.2004, 16:02

karl_k0ch

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Permutationen sind Vertauschungen (z.B. von Zeilen einer Matrix). Die braucht man hin und wieder für die Determinante.
Permutationen kann man in zwei Zeilen schreiben, wobei die erste Zeile besagt, woher und die zweite wohin man tauscht.

Die Permutationsgruppe für 2 Zeilen hat 2 Elemente: einen Tausch und ein Neutrales Element:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Tauchen der Zeilen (1 'geht nach' 2, 2 'geht nach' 1)

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Keine Vertauschen. (1 'geht nach' 1, 2 'geht nach' 2)

Es ist klar, dass die zweite Permutation das neutrale Element ist, ausserdem ist die erste Permutation selbstinvers.

Bei drei Zeilen wirds unhandlicher: 1 nicht-Vertauschung, 3 Vertauschungen von je 2 Zeilen (die selbstinvers sind), eine zyklische Vertauschung, eine antizyklische Vertauschung.

Wenn du willst, schreib ich die auch noch auf. Ich hoffe, jetzt sind alle Klarheiten beseitigt. smile

16.08.2004, 16:11

outlast

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Hey cool! Danke für deine kompetente Antwort! Ja wäre super, wenn du mir die mal aufschreiben könntest! Ich habe in meinem Mathematikbuch eine mit der Menge {1,2,3,4} und dann heisst es: Die Gruppe S4 enhält die Elemente

code:
1: 2: 3: 4: 5:	a=(1 2 3 4) b=(1 2 3 4) c=(1 2 3 4) (3 4 2 1) (3 1 2 4) (3 4 1 2)

Her verstehe ich nun gar nichts mehr? was geschieht da?
unglücklich

hoffe du kannst das lesen, sollte die gleiche Darstellung der Gruppen wie deinne sein! :P

Gruss & Danke

16.08.2004, 16:24

karl_k0ch

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Erstmal alle Elemente von S3:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Ziemlich neutral.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3& 2 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
3 Paarweise Vertauschungen.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1& 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
einmal zyklisch...
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2& 3 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
... und einmal antizyklisch.

Und jetzt zu S4:
Da passiert nichts Schlimmes. Augenzwinkern

Obere Zeile sagt woher, untere Zeile sagt wohin getauscht wird. Die Zahlen geben Positionen (welcher Art auch immer) an.

a heisst:
Was an der ersten Stelle war, wird an die dritte gesetzt,
Was an der zweiten Stelle war, wird an die vierte gesetzt,
Was an der dritten Stelle war, wird an die erste gesetzt,
was an der vierten Stelle war, wird an die erste gesetzt.

Es passiert bei a also nicht viel mehr als dass 1 mit 3 und 2 mit 4 getauscht wird.
Ich hoffe, das hilft dir, die anderen Elemente von S4 zu 'verstehen'. Die genannten sind aber nicht alle.
Ich vermute mal, Sn hat n! Elemente.

In einer anderen Schreibweise vom dem ganzen Spass sieht das dann so: (1 3)(2 4) aus. Mehr dazu dort: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=5451 , ist aber nicht so wichtig.

16.08.2004, 16:33

outlast

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Ah so geht das! Vielen Dank für deine Mühe!! Verstehe das nun endlich! In unserem Mathebuch ist das so verflixt mühsam geschrieben!!! smile

Danke nochmals, hast mir weitergeholfen! Gott

greets, outlast

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