Gebrochene Ideale

28.09.2014, 18:14

BanachraumK_5

Gebrochene Ideale

Hallo ich hänge gerade leider an so ein "Kleinigkeit".

Sei A ein Dedekindring. Dann gilt: Ein A-Untermodul $\begin{eqnarray*} d \ne 0, d \subset Quot(A) \end{eqnarray*}$ ist genau dann gebrochenes Ideal (bzw. endlich erzeugt), wenn es ein $\begin{eqnarray*} c \in A, c \ne 0 \end{eqnarray*}$ derart gibt, daß $\begin{eqnarray*} cd \subset A. \end{eqnarray*}$

Irgendwie ist mir überhaupt nicht klar wie man auf diese Aussage kommt.

Klar ist, daß A noethersch ist, d.h. jedes Ideal ist endlich erzeugt und von der Form $\begin{eqnarray*} a = \sum A a_j, a_j \in a \end{eqnarray*}$ (endliche Summe) Und es gibt eine Primidealzerlegung, aber irgendwie komme ich weder auf Hin noch auf Rückrichtung. Ein kurzer Tipp würde mir sehr helfen.

Ich meine das noethersch bezieht sich ja nur auf Ideale?!

29.09.2014, 16:44

Captain Kirk

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Hallo,

cd ist ein Ideal, hat also dank noethersch ein endliches Erzeugendensystem.
Teile jeden Erzeuger durch c und du hast dein endliches Erz.syst. von d.

02.10.2014, 10:51

BanachraumK_5

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In der Tat man findet

$\begin{eqnarray*} \lambda_j \in A, x_j \in dc; dc = \sum_j^{< \infty} \lambda_j x_j \Leftrightarrow c = \sum_j^{< \infty} \lambda_j (x_j / d ) = \frac{1}{d} \sum_j^{< \infty} \lambda_j x_j \Leftrightarrow c =(1/d)a, \end{eqnarray*}$ wobei hier a ein ganzes Ideal ist. Habe übrigens c und d vertauscht.

Es gilt also insgesamt $\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ gebrochenen Ideale $\begin{eqnarray*} c = \frac{1}{d} a \end{eqnarray*}$ , wobei a tatsächlich immer ein ganzes Ideal ist.

Gilt nun umgekehrt: $\begin{eqnarray*} c = \sum_j^{< \infty} \lambda_j x_j \in K \end{eqnarray*}$ also c ist gebrochenes Ideal; Dann existiert $\begin{eqnarray*} b \in A \end{eqnarray*}$ derart, daß $\begin{eqnarray*} b \cdot \sum_j^{< \infty} \lambda_j x_j \in A, \end{eqnarray*}$ dies folgt für Integritätsbereiche A mit Quotientenkörper K.

So in Ordnung?

03.10.2014, 12:09

Captain Kirk

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Zitat:

So in Ordnung?

Für mich nicht.
Ich verstehe z.B. deine Notation nicht. Was ist eine Summe mit kleiner unendlich?
Bei deiner ersten Gleichheit steht links ein gebrochenes Ideal, rechts eine Summe von Elementen,
macht deine Summe aus den Elementen Mengen?

Und was hat der Allquantor im Fließtext verloren? Kommt da eine Formel die ich nicht sehe?

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