Ellipse an Tangente und Kreis

29.09.2014, 22:23

earnest_k

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Ellipse an Tangente und Kreis

Die Sache ist leider noch nicht ganz ausgestanden:
Siehe> Ellipse an zwei Tangenten
Edit opi: Verlinkung zum alten Thread eingefügt.

Nachdem ich nun zwar die Ellipse an eine Tangente berechnen kann stellt sich bereits die nächste Schwierigkeit:
Die Ellipse wir nun nicht mehr durch eine Gerade beschränkt, sondern durch einen Kreis (siehe Skizze).

Gegeben sind:
P1 mit den Koordinaten (0,d1)
Steigung m1 der durch P1 gehenden Geraden g1
Ellipsenhalbachse a
Kreismittelpunkt Mk mit den Koordinaten (k,l)
Kreisradius R

Gesucht:
Ellipsenhalbachse b
Ellipsenmittelpunktkoordinate n

Der Ansatz müsste darauf hinauslaufen dass im Berührungszustand die Tangente der Ellipse mit der Tangente des Kreises zusammenfällt....

30.09.2014, 13:36

riwe

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RE: Ellipse an Tangente und Kreis
ich fürchte, das sind zu wenig Angaben

30.09.2014, 16:26

HAL 9000

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Hmm, ich würde sagen, die Angaben reichen:

Es gibt zwei gesuchte Größen $\begin{align*} b,n \end{align*}$ , dazu kommen noch als Hilfsgrößen die Koordinaten $\begin{align*} x_2,y_2 \end{align*}$ von $\begin{align*} P_2 \end{align*}$ sowie $\begin{align*} x_3,y_3 \end{align*}$ von $\begin{align*} P_3 \end{align*}$ , dem Berührpunkt der Ellipse mit der $\begin{align*} m_1 \end{align*}$ -Geraden. Macht insgesamt sechs Unbekannte, für die man auch sechs Gleichungen findet:

Drei für $\begin{align*} P_2 \end{align*}$ :
- Lage auf Ellipse
- Lage auf Kreis
- Berührbedingung von Ellipse und Kreis (gleiche Steigung)

Und auch drei für $\begin{align*} P_3 \end{align*}$ :
- Lage auf Ellipse
- Tangente muss dort Steigung $\begin{align*} m_1 \end{align*}$ haben.
- Lage auf der Geraden durch $\begin{align*} P_1 \end{align*}$ mit Steigung $\begin{align*} m_1 \end{align*}$ .

01.10.2014, 00:07

earnest_k

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Ich kann ja mal meine Ansätze teilen:

Zuerst die Ellipse:

Ich kenne $\begin{eqnarray*} P1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m1 \end{eqnarray*}$ .

Zusammen mit einem beliebigen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$
ergibt sich $\begin{eqnarray*} y0 \end{eqnarray*}$ als:

$\begin{eqnarray*} y0=\sqrt{a^2m_{1}^2+b^2} \end{eqnarray*}$

Jede beliebige Ellipse kann so schön im "V" platziert werden, nämlich mit:

$\begin{eqnarray*} n = d_1-y0 = d_1-\sqrt{a^2m_1^2+b^2} \end{eqnarray*}$

dabei gilt

Pe (xe,ye) => Pe(a*cos(e),b*sin(e))

und die Steigung $\begin{eqnarray*} me \end{eqnarray*}$ der Tangente als Ableitungen nach e

$\begin{eqnarray*} me=\frac{y'}{x'} \end{eqnarray*}$

Ähnlich verhält es sich wohl im Kreis.

Sobald folgende zwei Bedingungen erfüllt sind sollte ich die Lösung haben:

$\begin{eqnarray*} Pe = Pk \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} me = mk \end{eqnarray*}$

...aber wie komme ich dahin????

01.10.2014, 09:00

riwe

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ja ich hab´s auch schon gemerkt, man hat 4 Gleichungen für (die) 4 Unbekannten.
bin am Basteln Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.10.2014, 23:23

earnest_k

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...ich mach' mal weiter....

Die Steigung $\begin{eqnarray*} me \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} Pe \end{eqnarray*}$ ist der Quotient der Ableitungen nach $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} me = \frac{y'}{x'} = \frac{cos(e)a}{-sin(e)b} \end{eqnarray*}$

Die Steigung $\begin{eqnarray*} mk \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} Pk \end{eqnarray*}$ ist der Quotient der Ableitungen nach $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} mk = \frac{y'}{x'} = \frac{cos(k)R}{-sin(k)R} \end{eqnarray*}$

R fällt weg

$\begin{eqnarray*} mk = \frac{cos(k)}{-sin(k)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1)\ me = mk \rightarrow \frac{cos(k)}{-sin(k)} = \frac{cos(e)a}{-sin(e)b} \rightarrow -sin(k)cos(e)a = -sin(e)b\cos(k) \end{eqnarray*}$

das sind drei Unbekannte, $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ .

...

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02.10.2014, 09:34

Huggy

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Ellipse und Kreis berührend anzuordnen führt bei mir immer auf eine quartische Gleichung. Deren exakte Lösung ist schon unhandlich, wenn alle Koeffizienten als Zahlen gegeben sind. Hier enthalten die Koeffizienten noch mindestens eine Variable, was die Sache noch deutlich verschlimmert. Wenn niemand eine gute Idee hat, muss man das Problem wohl numerisch lösen. Ich habe das mal mit einem Mathematica-Programm gemacht.

[attach]35551[/attach]

Das Programm führt für n eine simple Intervallhalbierung durch. Es enscheidet anhand der Zahl der komplexen Schnittpunkte, ob sich Kreis und Ellipse schneiden oder nicht.

02.10.2014, 10:34

riwe

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ich fürchte auch, dass sich das nur numerisch knacken läßt
na und Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.10.2014, 14:42

earnest_k

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Möglichkeit einer analytischen Lösung?

Hallo zusammen, vielleicht gibt es einen Ansatz der analytisch lösbar ist - leider gelingt es mir gegenwärtig nicht, ihn vollständig umzusetzen:

Idee: Wenn es einen Berührpunkt gibt, definieren sich durch Variation von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ zwei Berührpunkte $\begin{eqnarray*} Pe \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Pk \end{eqnarray*}$ an der Tangente $\begin{eqnarray*} g_2 \end{eqnarray*}$ , deren Abstand $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ Null sein muss.

Es gilt somit:

$\begin{eqnarray*} fA(k) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} $\stackrel{!}{=}0$ \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0>k>\pi/4 \end{eqnarray*}$

Gemäss dem Thread "Ellipse an zwei Tangenten" gilt:

$\begin{eqnarray*} \quad n= \frac{a^2m_{1}^2-a^2m_{2}^2+d_{2}^2-d_{1}^2}{2d_{2}-2d_{1}} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ unten eingesetzt

$\begin{eqnarray*} \quad b=\sqrt{d_{2}^2-2d_{2}n+n^2-a^2m_{2}^2} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} m_2=cos(k)/sin(k) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P2_y = d_2=(-cos(k)R+Mk_x)m_2 \end{eqnarray*}$

Die Berührpunkte $\begin{eqnarray*} Pe_x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Pe_y \end{eqnarray*}$ rechnen sich als:

$\begin{eqnarray*} Pe_x = \sqrt{\frac{m_2^2a^4}{m_2^2a^2+b^2}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Pe_y=Pe_xm_2+d_2=m_2\sqrt{\frac{m_2^2a^4}{m_2^2a^2+b^2}}+d_2 \end{eqnarray*}$

Beim Kreis etwas einfacher:

$\begin{eqnarray*} Pk_x=-cos(k)R+Mk_x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Pk_y = sin(k)R+Mk_y \end{eqnarray*}$

der Abstand $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ schliesslich mit:

$\begin{eqnarray*} A = \sqrt{(Pe_x-Pk_x)^2+(Pe_y-Pk_y)^2} \end{eqnarray*}$

...weiter bin ich bis jetzt nicht gekommen....

03.10.2014, 17:33

Huggy

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Viel Spaß bei deinen Bemühungen.
Es ist unschön, dass k jetzt in doppelter Bedeutung auftritt.

Um dich ein wenig zu erschrecken, zeige ich dir mal, was sich ergibt, wenn man aus der Kreis- und Ellipsengleichung und den Tangentengleichungen an diese ganz geradlinig versucht, eine Gleichung für n bzw. b zu gewinnen. Das Gleichheitszeichen im Ergebnis befindet sich am Ende der 6. Ergebniszeile. In dieses Ergebnis wäre noch die Beziehung zwischen n und b einzusetzen.

[attach]35570[/attach]

03.10.2014, 18:55

earnest_k

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..das ist in der Tat etwas demotivierend :-(

Scheissellipse!

Vielleicht nützt es etwas, wenn ich statt $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ zu suchen lediglich die Position des Kreises an diskret variierende Ellipsen versuche zu bestimmen.
Das nächste Thema hiesse dann lediglich noch "Kreisposition an bestehende Ellipse bestimmen"

Dennoch herzlichen Dank für die Bemühungen.

03.10.2014, 18:58

riwe

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Zitat:

Original von earnest_k
..das ist in der Tat etwas demotivierend :-(

Scheissellipse!

Vielleicht nützt es etwas, wenn ich statt $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ zu suchen lediglich die Position des Kreises an diskret variierende Ellipsen versuche zu bestimmen.
Das nächste Thema hiesse dann lediglich noch "Kreisposition an bestehende Ellipse bestimmen"

Dennoch herzlichen Dank für die Bemühungen.

wobei was gegeben ist oder wäre verwirrt

verwirrt

03.10.2014, 19:40

earnest_k

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Zitat:

Original von riwe

Zitat:

Original von earnest_k
..das ist in der Tat etwas demotivierend :-(

Scheissellipse!

Vielleicht nützt es etwas, wenn ich statt $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ zu suchen lediglich die Position des Kreises an diskret variierende Ellipsen versuche zu bestimmen.
Das nächste Thema hiesse dann lediglich noch "Kreisposition an bestehende Ellipse bestimmen"

Dennoch herzlichen Dank für die Bemühungen.

wobei was gegeben ist oder wäre verwirrt

verwirrt

Dann wäre alles bis auf die x-Position des Kreises (Gesuchter Wert $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ) Gegeben:

Gegeben:
Ellipse mit Halbachsen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$
Mittelpunktsposition der Ellipse $\begin{eqnarray*} Me (0,n) \end{eqnarray*}$
Radius des Kreises $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$
Position des Kreismittelpunktes in y-Richtung $\begin{eqnarray*} o \end{eqnarray*}$

Gesucht
Position des Kreises in x-Richtung $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$

Gruss

earnest_k

04.10.2014, 08:43

Huggy

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Weshalb führst du für die Mittelpunktskoordinaten (k, l) des Kreises die neuen Bezeichungen (p, o) ein?

Abgesehen davon ändert das doch gar nichts an der Problematik. Die 4 Gleichungen gelten unverändert. Man kann aus ihnen unverändert m, x und y eliminieren und hat dann die gleiche oben mit Mathematica abgeleitete Monstergleichung. Bei der sucht man nun eine Lösung für k, wobei der Rest gegeben ist. Vorher hat man eine Lösung für n bzw. b gesucht gesucht, wobei der Rest gegeben war.

04.10.2014, 12:34

riwe

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naja, da dieses Problem auf eine Gleichung 4. Grades führt, läßt es sich exakt lösen,
ich würde natürlich wieder Newton die Ehre erweisen, wie im Problem vorher.

die Bezeichner machen wahrlich alles übersichtlicher Augenzwinkern

Augenzwinkern

vielleicht informierst du uns ja einmal über die "Hintergründe deines elliptischen Anfalls".

05.10.2014, 20:38

earnest_k

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Hallo zusammen

zuerst zu den Gründen des "Elliptischen" Anfalls:
Auf dem Markt gibt es sog. Kontaktelemente, diese Spezialfedern werden meist im Zusammenhang mit Kontakten für hohe Ströme verwendet. Diese Feder hat einen ovalen Querschnitt und eine bekannte Einfederungscharakteristik.
Ich versuche eine Steckverbindung zu gestalten mit einem definierten Einfahr- und Einklickverhalten (Siehe erstes Bild im Thread "Ellipse an zwei Tangenten")
Zusammen mit ein bisschen Tribologie und Kräfteparallelogrammen sollte dies möglich sein - immer vorausgesetzt die Dimensionen der Feder oder eben Ellipse sind bekannt.

Zur Lösung der zuletzt gestellten Frage, die ist unglaublich simpel:

Um meine bekannte Ellipse "zeichne" ich eine zweite mit $\begin{eqnarray*} a_R=a+R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_R=b+R \end{eqnarray*}$

Den y-Abstand meines Mittelpunktes $\begin{eqnarray*} Mk_y \end{eqnarray*}$ kenne ich, die Koordinaten meines Ellipsenmittelpunktes $\begin{eqnarray*} Me \end{eqnarray*}$ auch.

Dann brauche ich nur noch den Winkel $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ bei welchem gilt:

$\begin{eqnarray*} cos(e)(a_R) = p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} sin(e)(b_R)=n \end{eqnarray*}$

Wenn's weiter nichts ist:

$\begin{eqnarray*} e=arcsin(\frac{-n}{b_R}) \end{eqnarray*}$

und somit:

$\begin{eqnarray*} Mk_x = cos(e)(a_R) \end{eqnarray*}$

Beste Grüsse, Danke und bis bald

earnest_k

06.10.2014, 09:34

riwe

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meinst du das Ernst verwirrt

verwirrt

(und schon wieder neue Bezeichner)
(man beachte den Titel des Bilderls)

06.10.2014, 10:47

earnest_k

Auf diesen Beitrag antworten »

riwe

"Was wir finden beruht hauptsächlich darauf wonach wir suchen"

Für $\begin{eqnarray*} 0<(Me_y - Mk_y) <= R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_{min} > (Me_y-Mk_y)-R \end{eqnarray*}$ funktioniert's, mehr brauch ich nicht.

06.10.2014, 11:19

earnest_k

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von earnest_k
riwe

"Was wir finden beruht hauptsächlich darauf wonach wir suchen"

Für $\begin{eqnarray*} 0<(Me_y - Mk_y)-R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_{min} > (Me_y-Mk_y)-R \end{eqnarray*}$ funktioniert's, mehr brauch ich nicht.

...fehlte noch ein " $\begin{eqnarray*} -R \end{eqnarray*}$ " und weg mit" $\begin{eqnarray*} <=R \end{eqnarray*}$ " in der ersten Bedingung

06.10.2014, 12:37

riwe

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da gehört dein Problem eher in die Bastelstube.

da wäre es viel einfacher und sinnvoller, deine sogenannte Ellipse durch einen Kreis zu
ersetzen, dann geht´s in einer halben Zeile unglücklich

unglücklich

aber selig die...

06.10.2014, 12:59

earnest_k

Auf diesen Beitrag antworten »

...tja, leider verformt sich die Kontaktfeder elliptisch, da kann ich auch nichts daran ändern. ;-)

Wenn Du konstruktiv helfen willst riwe, dann lass' mich wissen wie Deine Nicht-Bastellösung aussieht, ich bin um jede analytische Prachtslösung froh.

Freude

Freude

06.10.2014, 13:24

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von earnest_k
...tja, leider verformt sich die Kontaktfeder elliptisch, da kann ich auch nichts daran ändern. ;-)

Wenn Du konstruktiv helfen willst riwe, dann lass' mich wissen wie Deine Nicht-Bastellösung aussieht, ich bin um jede analytische Prachtslösung froh.

Freude

Freude

nicht mehr

06.10.2014, 13:36

earnest_k

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von riwe

Zitat:

Original von earnest_k
...tja, leider verformt sich die Kontaktfeder elliptisch, da kann ich auch nichts daran ändern. ;-)

Wenn Du konstruktiv helfen willst riwe, dann lass' mich wissen wie Deine Nicht-Bastellösung aussieht, ich bin um jede analytische Prachtslösung froh.

Freude

Freude

nicht mehr

Schade, auf jeden Fall herzlichen Dank für Deine Unterstützung, Du hast mir wesentlich weitergeholfen!

Mach's gut
Wink

Wink

06.10.2014, 13:56

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Offenbar ist dir die Ironie in riwes Bemerkung "Ellipse durch einen Kreis ersetzen" entgangen. Denn genau das hast du in deinem letzten Diagramm gemacht. Da ist $\begin{eqnarray*} a_R=b_R \end{eqnarray*}$ und folglich $\begin{eqnarray*} a = b \end{eqnarray*}$ . Und bei 2 Kreisen stimmt die Konstruktion, sonst aber nicht.

06.10.2014, 15:53

earnest_k

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Danke für den Hinweis Huggy,
es stimmt, die Lösung ist unsauber und nicht genau, eine Bastellösung wie riwe richtig sagt, trotzdem ist in den meisten Fällen $\begin{eqnarray*} a_R\neq b_R \end{eqnarray*}$ , ich addiere ja zu $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ lediglich $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ *nichtversteh*

Wenn mir jemand hier weiterhelfen möchte bin ich froh darum.

06.10.2014, 17:00

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn aber $\begin{eqnarray*} a_R \neq b_R \end{eqnarray*}$ , dann ist der Mittelpunktsabstand zwischen Ellipse und Kreis, den du als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks für deine Winkelbeziehungen benutzt hast, weder gleich $\begin{eqnarray*} a_R \end{eqnarray*}$ noch gleich $\begin{eqnarray*} b_R \end{eqnarray*}$ . Auch berühren sich Ellipse und Kreis dann nicht auf der Verbindungslinie der beiden Mittelpunkte.

Wenn sich a und b nur wenig unterscheiden, ist die Konstruktion näherungweise richtig. Ob die Genauigkeit für deine Anforderungen ausreicht, kann ich nicht beurteilen. Grundsätzlich solltest du aber akzeptieren, dass das Problem nur numerisch gelöst werden kann bzw. durch die äußerst unhandliche Lösung einer quartischen Gleichung. Numerische Lösungen sind doch heutzutage durch die Rechner kein Problem.

06.10.2014, 17:18

riwe

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noch dazu, wo alles so schön konvergiert Augenzwinkern

Augenzwinkern

man beachte den Titel von Bilderl 2

07.10.2014, 13:15

earnest_k

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Hallo riwe,

herzlichen Dank für Deine Hilfe, gerne will ich noch kurz erklären, weshalb die numerische Lösung bei dieser Aufgabenstellung nur dann in Frage kommt wenn es wirklich nicht anders geht:

Wenn man sich den "Bolzen" betrachtet, besteht dieser aus folgender Kette an geometrischer Randbedingungen: Eintrittsradius, Eintrittsfase (ansteigend), Übergangsradius, Horizontale, Übergangsradius, "Einklick"-Fase (absteigend)

Ziel der Berechnung ist ein Vollständiges Abbild der Einfederung über den ganzen Einfahrzyklus

Mir steht nur Excel zur Verfügung, das heisst für Zielwertsuchen in diskreten Einfahrschritten muss ich ein Makro programmieren, dies auf einem handelsüblichen Laptop (langsam)

Ich möchte die Zusammenhänge zwischen Federabmessung und Bolzengeometrie verstehen, das heisst, wenn ich jeden Einfahrpunkt diskret berechnen muss bin ich 500 mal langsamer als wenn ich eine Formel für die Abmessungen der Ellipse, bzw. die Position des Kreises bestimmen kann, dann nämlich lässt sich praktisch sofort eine Grafik erstellen, die mir das Einfahrkraftverhalten in Abhängigkeit der Feder- und Bolzenabmessung darstellt.

Die Personen welche das anwenden sollen sind ungeduldig, wenn es nicht "sofort" dargestellt werden kann ist das Berechnungsprogramm leider nichts Wert.

Deshalb, DANKE!! das Du mich hier unterstützt hast.

earnest_k

07.10.2014, 14:57

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Anmerkung: ich habe das Zeug auch (nur) in Excel verbrochen, ohne Makros, VBA etc.

das Newtonverfahren geht einfach und sozusagen in "Echtzeit". wenn du also einen Parameter veränderst, übernehmen alle Zellen und Grafiken das wie üblich.
also auch für ungeduldige Leute geeignet
(kritisch sind in der Regel nur die Startwerte, was man in der Regel schnell in Griff kriegt)

(ich bin ja leider kein solcher Künstler in Mathematica wie Huggy Gott

Gott

)

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