Lagrange Relaxation - Partielles Ableiten

01.10.2014, 08:50

Logistiker87

Lagrange Relaxation - Partielles Ableiten

Guten Morgen alle Zusammen,

wie im Titel beschrieben versuche ich mich gerade an einem Optimierungsverfahren mit Lagrange-Multiplikatoren. Genauer gesagt handelt es sich um eine Losgrößen-Optimierung mit einem aufgestellten LP-Modell. Hinten raus benötige ich Lagrange-Multiplikatoren zur Ermittlung von unteren und oberen Grenzen.

Das Modell stellt sich wie folgt auf:
ZF: Summe von n j=1, Summe von T t=1 (f(j) * z(jt) + c(j) * l(jt))

NB1: b(jt) = l(j,t-1) + q(jt) - l(jt)
NB2: q(jt) <= z(jt) * Summe von T b(jT)
NB3: l(jt) >= 0
NB4: q(jt) <= 0

In Schritt 1 muss ich alle Nebenbedingungen gleich 0 setzen. Habe ich getan.
In Schritt 2 füge ich alles in eine Gleichung zusammen und multipliziere die Nebenbedingungen mit Lambda. Getan.

An dieser Stelle muss ich alle Variablen und alle Lanbdas (4 Stück= Lambda1, Lambda2, Lambda3 und Lambda4) partiell ableiten.

Ich weiß nicht ob ich das Prinzip des partiellen Ableitens verstanden habe, denn wenn ich bspw. NB4 ableite steht da Lambda4 = 1

Im nächsten Schritt setze ich wieder alles gleich 0 und dann würde da stehen Lambda4 = 1 = 0.

Das ist absolut falsch. Kann mir bitte jemand helfen, wie ich von der Gesamtformel aus Schritt 2 (die hier drunter steht) genau partiell ableite? Ich brauche das für die Arbeit. Ich habe hier große Versprechungen gegeben und werde die Versprechung nicht einhalten können wenn ich nicht die Lambdas/Lagrange-Multiplikatoren errechnen kann.

Schritt 2:
L = f(j) * z(jt) + c(j) * l(j) + Lambda1 * (L(j,t-1) + q(jt) - t(jt) - b(jt)) + Lambda2 * (z(jt)b(jt) - q(jt)) + Lambda3 * L(jt) + Lambda4 * q(jt)

Ich hoffe das jemand meine Problematik versteht. Ich verzweifele hier dran ganz schön, da ich auf Teufel komm raus die Ableiten nicht richtig hinbiegen kann.

Vielen Dank im Voraus!!

01.10.2014, 09:46

Bernhard1

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Zitat:

Original von Logistiker87
ZF: Summe von n j=1, Summe von T t=1 (f(j) * z(jt) + c(j) * l(jt))

Hallo Logistiker87,

das muss klarer hingeschrieben werden:

So?

$\begin{eqnarray*} ZF := \sum_{j=1}^n (f(j) * z(j) + c(j) * l(j)) \end{eqnarray*}$

also t=1?

01.10.2014, 09:58

Logistiker87

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So:

$\begin{eqnarray*} ZF:= \sum\limits_{j=1}^n \sum\limits_{t=1}^T (fj * zjt + cj * ljt) \end{eqnarray*}$

Ich hoffe der Kern meines Problems wird klar.
Zumal ich mich frage, ob ich wegen der 4 Nebenbedingungen 4 Lambdas brauche, obwohl in der angereicherten Zielfunktion zur Optimierung der Losgrößen nur ein Lambda stehen wird.

Die ZF mit Lambda sieht laut Literatur wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} ZF: \sum\limits_{j=1}^n \sum\limits_{t=1}^T (fj * zjt + cj * ljt + \lambda t * kpj * qjt) - \sum\limits_{t=1}^T \lambda t * kt \end{eqnarray*}$

Es geht hierbei um die Methode des CLSP von Domschke, Scholl und Voß.

Vielleicht habe ich auch ein Anwendungsverständnisproblem mit dem Lambda. Es wird aber im Buch von der Lagrange Relaxation geschrieben. Also führe ich diese durch

01.10.2014, 10:08

Logistiker87

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Um vielleicht mein Problem zu schildern hier noch meine gebildeten partiellen Ableitungen:

$\begin{eqnarray*} /Lambda 1 = ljt-1 + qjt - ljt - bjt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} /Lambda 2 = Zjt + bjt - qjt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} /Lambda 3 = ljt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} /Lambda 4 = qjt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Ljt-1 = /Lambda \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} qjt = /Lambda 1 - /Lambda 2 + /Lambda 4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Ljt = /Lambda 1 + /Lambda 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} bjt = /Lambda 1 + /Lambda 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} zjt = /Lambda 2 \end{eqnarray*}$

01.10.2014, 10:32

Bernhard1

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Zitat:

Original von Logistiker87
Ich hoffe der Kern meines Problems wird klar.

Nicht wirklich, weil ich die angegebene Literatur nicht kenne, dafür aber den Lagrange-Formalismus und um den anzuwenden, muss völlig klar sein, wie die Funktion aussieht, die optimiert werden soll und wie die Nebenbedingungen aussehen.

Bei jedem verwendeten Buchstaben muss also klar sein, ob es eine konstante Zahl oder eine Funktion ist. Man kann sonst logischerweise auch keine partiellen Ableitungen bilden.

Was ist beispielsweise das f? Eine Funktion oder eine Zahl?
MfG

01.10.2014, 10:38

Logistiker87

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Das ganze baut sich durch Parameter und Variablen auf, was alles zusammen auch nur Terme sind um etwas auszudrücken:

bjt = Bedarf an Produkt j=1,...,n
fj = fixe Rüstkosten für Produkt j
cj = Lagerhaltungskosten für Produkt j
kt = verfügbare zeitliche Kapazität in Periode t
kpj = Bedarf an Kapazität in ME von Produkt j

zjt = binäre Rüstvariable
ljt = Lagerbestandes des Produktes j
qjt = Losgröße von Produkt j in Periode t

Alles sind keine Funktionen.

Letzten Endes benötige ich nur die Ableitungen um auf ein Lambda zukommen. Anhand des Lambda bin ich dann in der Lage das LP-Problem, welches ich eben erläutert habe zu lösen.

01.10.2014, 11:42

Bernhard1

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EDIT: Hallo Logistiker,

ich habe etwas bei google gesucht und habe diesen Wikipedia-Artikel gefunden, der einiges erklärt. Mit der herkömmlichen Methode der Lagrange-Multiplikatoren scheint dieses Optimierungsverfahren nur den Namen gemeinsam zu haben. Ich bin damit wegen fehlender Spezialkenntnisse hier vorerst raus.
MfG

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