Mengen und Aussagen

02.10.2014, 12:25

Mengennoobielein

Mengen und Aussagen

Meine Frage:
Hallo,

A, B bezeichnen beliebige Mengen, sowie a, b, c, d beliebige Objekte.
Welche Aussagen über die nachfolgenden Mengen sind wahr?

$\begin{eqnarray*} a)(A\subseteq B) \Leftrightarrow (A \cup B = B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b) \lbrace 2;3;4;3;4/2 \rbrace = \lbrace 2;3;4 \rbrace \end{eqnarray*}$
Es ist kein Eingabefehler es ist 4/2.

$\begin{eqnarray*} c) \lbrace \sqrt{n^2} : n \in \mathbb Z \rbrace = \mathbb N \end{eqnarray*}$
Wobei unser Professor die Null bei den natürlichen Zahlen nicht mitzählt.

$\begin{eqnarray*} d) \lbrace \lbrace a\rbrace;\lbrace a;b\rbrace \rbrace = \lbrace \lbrace c\rbrace;\lbrace c;d\rbrace \rbrace \Leftrightarrow (a = c \land b=d) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Meiner Meinung nach ist a) eine wahre Aussage, denn wenn A eine Teilmenge und gleich B sein soll dann ist die Vereinigung von A mit B eben gleich B. Weil ja quasi B alles beinhaltet, lax gesprochen?

B) ist meiner Meinung nach auch eine wahre Aussage, denn die Häufigkeit der aufgezählten Elemente spielt ja keine Rolle? Sprich dann sind die Mengen dann identisch. Stimmt das?

C) ist meiner Meinung nach falsch denn Null ist eine ganze Zahl, aber keine natürliche, daher ist die Aussage an einer stelle eben falsch, somit also falsch.

D) bereitet mir am meisten Kopfschmerzen, Anhaltspunkt ist in der Aufgabenstellung, dass a, b, c und d Objekte sind. Wir haben aber doch zwei Mengen geschachtelte mit jeweils zwei Mengen. Nach der Äquivalenz a=c und b=d finde ich, dass es eine wahre Aussage ist.

Wäre dankbar für Verbesserungsvorschläge und Korrekturen

LG David

02.10.2014, 12:42

Gast11022013

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Es stimmt eigentlich alles was du sagst, aber a) solltest du vielleicht noch versuchen zu beweisen.

zu c) Wenn Null für euch keine natürliche Zahl ist, dann stimmt es natürlich nicht.

zu d)

Mengen sind ja gleich, wenn sie die gleichen Elemente enthalten.
Die Mengen enthalten nun als Elemente wieder Mengen, welche identisch sein sollen.
Du vergleichst also die Elemente.

$\begin{eqnarray*} \{a\}=\{c\} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \{a,b\}=\{c,d\} \end{eqnarray*}$

02.10.2014, 12:44

kgV

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Deine Vermutungen zu a) und b) sind richtig, das passt. c) ist auch richtig, wenn man die Null nicht zu den natürlichen Zahlen zählt.

Und auch bei d) bin ich der Meinung, dass die Aussage wahr ist.

Kurz: alles richtig smile

An den Begründungen solltest du aber noch etwas feilen, denn die sind das eigentlich wichtige Augenzwinkern

Bei Aufgabe a) z.B. ist die Implikation von links nach rechts klar, das hast du ja auch beschrieben. Was ist aber mit der Gegenrichtung? Die erwähnst du mit keiner Silbe. Wenn die Äquivalenz gelten soll, so muss auch die andere Implikation gezeigt werden
Das ist zwar auch schnell erledigt, aber man muss eben auch die leichten Sachen zeigen Augenzwinkern

Lg
kgV

edit: zu lange getippt. Bin dann mal weg Augenzwinkern

02.10.2014, 12:51

Mengennoobielein

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Zitat:

Original von Gmasterflash
Es stimmt eigentlich alles was du sagst, aber a) solltest du vielleicht noch versuchen zu beweisen.

Ich habe es mir aufgemalt, aber beweisen? Wie würde das gehen? Mit Wahrheitstabelle?

Zitat:

Original von Gmasterflash
zu d)

Mengen sind ja gleich, wenn sie die gleichen Elemente enthalten.
Die Mengen enthalten nun als Elemente wieder Mengen, welche identisch sein sollen.
Du vergleichst also die Elemente.

$\begin{eqnarray*} \{a\}=\{c\} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \{a,b\}=\{c,d\} \end{eqnarray*}$

Genau und wenn beispielsweise a=c=1 wähle und b=d=2, dann sind die Mengen identisch.

Danke!

LG David

02.10.2014, 12:59

Gast11022013

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Zitat:

Ich habe es mir aufgemalt, aber beweisen? Wie würde das gehen? Mit Wahrheitstabelle?

Da du eine äquivalenz zeigen möchtest musst du aus

$\begin{eqnarray*} A\subset B \end{eqnarray*}$ folgern, dass $\begin{eqnarray*} A\cup B=B \end{eqnarray*}$ ist. Und umgekehrt, also
$\begin{eqnarray*} A\cup B=B \end{eqnarray*}$ folgern, dass $\begin{eqnarray*} A\subset B \end{eqnarray*}$

Beweis durch Bild ist ein wenig suboptimal. Nicht jede Menge wirst du zeichnen können.

Du blätterst nun also in deinem Skript zurück und siehst dir an wie ihr eine Teilmenge definiert habt und wie ihr die Vereinigung von Mengen definiert habt.
Sicherlich habt ihr ähnliche Beweise schon in der Vorlesung geführt.

Ansätzen musst du dann etwa so:

Sei $\begin{eqnarray*} x\in A\subset B \end{eqnarray*}$ beliebig, dann ist ....

Zitat:

Genau und wenn beispielsweise a=c=1 wähle und b=d=2, dann sind die Mengen identisch.

Beweis durch Beispiel ist ein wenig suboptimal.

02.10.2014, 13:17

Mengennoobielein

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Zitat:

Original von Gmasterflash
Beweis durch Beispiel ist ein wenig suboptimal.

Ich bin noch bisschen grün vor Augen in der Materie, daher verzeiht mir bitte meine Unwissenheit:P Ich denke ich muss es nicht beweisen, aber ich würde es mal gerne für das Verständnis tun.

$\begin{eqnarray*} A \subseteq B :\Leftrightarrow \forall x \in A \mid x \in B \end{eqnarray*}$

Die Vereinigung ist ja

$\begin{eqnarray*} {A}\cup{B} := \{ x \mid \left( x \in {A} \right) \lor \left( x \in {B} \right) \} \end{eqnarray*}$

Wir machen an sich irgendwie keine Beweise nur Beispiele zu den Definitionen. Andere haben schon was anderes an der Uni studiert die meinten, dass es merkwürdig ist. Wohlbemerkt es geht hier jetzt um eine FH.

LG David

02.10.2014, 13:24

Gast11022013

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Es kann gut sein, dass ein einfaches wahr oder falsch als Lösung ausreicht.

Diese Aussage zu beweisen ist ziemlich einfach. Es ist nur ungewohnt. Immerhin ist dir die Aussage intuitiv klar. Aber so ist es nun mal.

Die "Hinrichtung"

$\begin{eqnarray*} A\subseteq B\Rightarrow A\cup B=B \end{eqnarray*}$

ist ziemlich trivial.

Studierst du an der FH Mathematik, oder etwas anderes?

02.10.2014, 13:31

Mengennoobielein

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Zitat:

Original von Gmasterflash
Die "Hinrichtung"

$\begin{eqnarray*} A\subseteq B\Rightarrow A\cup B=B \end{eqnarray*}$

ist ziemlich trivial.

Okay, gut dass ich nicht darauf komme Big Laugh

Zitat:

Original von Gmasterflash
Studierst du an der FH Mathematik, oder etwas anderes?

Nein

KIT

LG David

02.10.2014, 13:48

Gast11022013

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Naja, versuch es doch einmal aufzuschreiben. Was bedeutet es in Worten, dass A eine Teilmenge von B ist?
Und warum ist die Vereinigung davon nun einfach wieder B? Warum "passiert nichts"?

Und was ist KIT?

02.10.2014, 13:54

Mengennoobielein

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Zitat:

Original von Gmasterflash
Und was ist KIT?

Kommunikations- und Informationstechnik

Zitat:

Original von Gmasterflash
Naja, versuch es doch einmal aufzuschreiben. Was bedeutet es in Worten, dass A eine Teilmenge von B ist?
Und warum ist die Vereinigung davon nun einfach wieder B? Warum "passiert nichts"?

Nun ja das habe ich in meinem ersten Beitrag versucht. Wenn wenn A eine Teilmenge und gleich B sein soll dann ist die Vereinigung von A mit B eben gleich B. Es ist ja in B, A enthalten.

Sozusagen wenn B mein Joghurtbecher ist und A meine Erdbeere. Dann ist ja die Erdbeere eine Teilmenge vom Joghurtbecher. Wenn ich die Vereinigung beider bilde dann ist es wieder der Joghurtbecher Big Laugh

LG David

02.10.2014, 14:03

Gast11022013

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Ja, A ist in B enthalten.

Man könnte also dein Joghurt Beisiel erweitern und sagen du hast so einen komischen Joghurt zum umknicken.

Dann wäre also B sogesehen der gesamte Joghurt und A wäre die Ecke mit den Erdbeeren drin.
Das ganze wird aber ohnehin schon als Erdbeerjoghurt im Laden verkauft.
Wenn du nun die Vereinigung bildest, dann heißt das, dass du die Erdeeren in den Joghurt kippst, die ja auch vorher "im" Joghurt waren, nur etwas komplizierter.... auf irgendeine Art und Weise...

Wobei ich auch nicht weiß weshalb ich dein Joghurt Beispiel weitergeführt habe, es passt nur irgendwie gut..

Alles was du eigentlich zu tun hast, ist es etwas auszuformulieren und dich an die Definitionen zu halten...
Und natürlich mit weniger Joghurt.

Edit: Naja, wenn du nicht Mathe studierst, dann ist das mit den Beweisen glaube ich komplett irrelevant für dich, fällt mir gerade auf. Das ist in der Aufgabe sicherlich nicht von euch verlangt. Du musst wohl selber wissen ob du das machen möchtest oder nicht.

06.10.2014, 12:51

Mengennoobielein

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Stimmt die letzte Aussage mit dem Inhalt des folgenden Videos? Google -> Mengen von Mengen Video
Meiner Meinung nach dann nicht, oder?

06.10.2014, 16:28

Gast11022013

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Am besten schreibst du die Aussage einfach mal hin. Oder du machst klar um welches Video es sich handelt.
Das von Jörn Loviscach?

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