Spuraufgabe ausrechnen

03.10.2014, 12:54

Hm...

Spuraufgabe ausrechnen

Hi Leute,

in einem Beweis wird folgende Regel verwendet:

$\begin{eqnarray*} spur((A-\sum_{i=1}^kx_i y_i^T)^T (A-\sum_{i=1}^k x_i y_i^T))=spur(A^TA + \sum_{i=1}^k (y_i - A^Tx_i)(y_i - A^T x_i)^T - \sum_{i=1}^kA^Tx_i x_i^T A) \end{eqnarray*}$

Könnt ihr mir sagen wie ich diese Aussage beweisen kann? Ausrechnen hat jetzt zweimal nicht geklappt. verwirrt

03.10.2014, 13:45

Bernhard1

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Zitat:

Original von Hm...
Ausrechnen hat jetzt zweimal nicht geklappt. verwirrt

Hallo Hm...

vielleicht liegt ja ein Mißverständnis bei der Interpretation des Ausdruckes $\begin{eqnarray*} x_iy_i^T \end{eqnarray*}$ vor? Ich habe eben ein konkretes Beispiel mit dem Tensorprodukt von zwei Vektoren gerechnet und da passt eigentlich alles:

$\begin{eqnarray*} A:= \left(\begin{array}{cc}1&0\\3&2\end{array}\right)\quad x_1:=\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right)\quad x_2:=\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_1:=\left(\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right)\quad y_2:=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 15 = 15 \end{eqnarray*}$

03.10.2014, 14:22

Hm...

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hm, danke!

wenn folgendes gilt (und ich glaube es gilt, bin zu faul es genau nachzurechnen):

$\begin{eqnarray*} (A+B)^T = A^T + B^T \end{eqnarray*}$

bekomme ich, unter der vorraussetzung, dass die $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ eine orthonormalbasis bilden. (die vorraussetzung ist zufälligerweise gegeben)

über die strategie: erst einmal aus multiplizieren und dann mit $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^k A^T x_i x_i^T A \end{eqnarray*}$ ergänzen und dann einmal die ONB eigenschaft benutzen, die obige Gleichung raus. Freude

03.10.2014, 19:25

Bernhard1

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Hallo Hm...,

$\begin{eqnarray*} (A+B)^T = A^T+B^T \end{eqnarray*}$ ist zwar offensichtlich, aber der erste Schritt zur Lösung der Aufgabe, denn man kann damit beide Seiten der Gleichung (unter dem Spuroperator) ausmultiplizieren und direkt vergleichen. Beachtet man noch $\begin{eqnarray*} (AB)^T = B^TA^T \end{eqnarray*}$ , so heben sich fast alle Summanden weg, bis die folgende reduzierte Gleichung überbleibt:

$\begin{eqnarray*} spur(\sum_{i=1}^k y_i x_i^T \sum_{i=1}^k x_i y_i^T)=spur(\sum_{i=1}^k y_i y_i^T) \end{eqnarray*}$

Ich sehe aber gerade auch nicht, wie man von hier aus weiterkommt. Offensichtlich gilt diese Gleichung aber auch für nicht ONB.

03.10.2014, 22:18

Hm...

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Hallo Bernhard,

danke für die Antwort.

Zitat:

Original von Bernhard1

$\begin{eqnarray*} spur(\sum_{i=1}^k y_i x_i^T \sum_{i=1}^k x_i y_i^T)=spur(\sum_{i=1}^k y_i y_i^T) \end{eqnarray*}$

.

Da die xi eine ONB bilden, müsste gelten:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^k y_i x_i^T \sum_{i=1}^k x_i y_i^T= \sum_{i=1}^k y_i y_i^T \end{eqnarray*}$

da für jedes x_i aufgrund der ONB Eigenschaft gilt:

$\begin{eqnarray*} x_i^T \sum_{i=1}^T x_i y_i = x_i^T x_i y_i = y_i \end{eqnarray*}$

03.10.2014, 22:43

Bernhard1

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Hallo Hm...

man müsste es wohl noch etwas sauberer hinschreiben, aber im Prinzip kennen wir jetzt die Lösung. Genauer deshalb, weil in der vereinfachten Gleichung alle Kombinationen der Skalarprodukte <x_i, x_j> vorkommen und nicht nur die <x_i, x_i>.

Dass mein Beispiel ebenfalls die Gleichung erfüllt liegt scheinbar daran, dass ich die beiden y-Vektoren (zufällig) passend gewählt habe Big Laugh

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