Gleichungssystem mit Eigenwerten Lösen

04.10.2014, 22:10	Hello World	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichungssystem mit Eigenwerten Lösen Meine Frage: Hallo wollte mich mal erkundigen wie genau das funktioniert. Habe folgende Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1& 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2a & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3a \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bestimmen Sie alle a element relle Zahlen für die Gleichung $\begin{eqnarray} A_{a} x=x \end{eqnarray}$ genau eine Lösung hat Meine Ideen: Also ich habe es ganz normal mit Gauß etc. versucht, was sehr lange und nervig ist. In der Lösung haben die es mit der det gemacht, also Eigenwerte berechnet. Kann man das immer so machen ? Habt ihr andere Tipps wie man an solchen nervigen Aufgaben ran gehen kann ?
04.10.2014, 23:12	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo nein nein. du kannst die Gleichung umstellen $\begin{eqnarray} A_{a} x=x \Leftrightarrow A_{a} x=Ex \Leftrightarrow A_{a} x-Ex=0 \Leftrightarrow (A_{a} - E)x=0 \end{eqnarray}$ jetzt einen Satz aus der linearen Algebra verwenden Ein lineares Gleichungssystem hat genau eine Lösung, dann und nur dann, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix nicht verschwindet, dass heißt, wenn $\begin{eqnarray} A_{a} - E \end{eqnarray}$ invertierbar ist. Grüße
04.10.2014, 23:25	Hello World	Auf diesen Beitrag antworten »
Super Danke für die schnelle Antwort Danke für diesen Hinweis den Satz hatte ich leider schon vergessen, jetz dank dir wieder vorhanden. Mfg
05.10.2014, 00:49	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein anderer Ansatz führt aber tatsächlich über Eigenwerte. Wenn nämlich $\begin{align} A_ax=x \end{align}$ genau eine Lösung besitzt, kann 1 kein Eigenwert von $\begin{align} A_a \end{align}$ sein. Folglich muss $\begin{align} det(A_a-E)\neq 0 \end{align}$ gelten, was genau derselben Rechnung wie in dem von Christian vorgeschlagenen Weg entspricht.
05.10.2014, 00:55	Hello World	Auf diesen Beitrag antworten »
wieso kann 1 kein Eigenwert sein ?
05.10.2014, 01:02	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil es sonst unendlich viele Lösungen von $\begin{align} A_ax=1\cdot x \end{align}$ geben würde, denn der Eigenraum besitzt ja mehr als das Nullelement.
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05.10.2014, 16:02	Hello World	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann man also die Lösungen der Gleichungssysteme auch über die Eigenwerte bestimmen ?
05.10.2014, 17:04	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Normalerweise nicht, in diesem Fall aber schon, weil Du ja links und rechts denselben Vektor x hast. Das ist aber nur hier der Fall, ein "normales" GLS hat die Gestalt Ax=b. Solltest Du aber nur von diesem Spezialfall reden, dann kannst Du die Eigenwerte bestimmen und Dir anschauen, ob der gewünschte darunter ist, oder nicht. Einfacher wird es dadurch aber nicht wirklich.
05.10.2014, 17:51	Hello World	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok alles klar vielen Dank für die Hilfe Mfg

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