Zeigen sie dass... Summe n über k

06.10.2014, 13:16

TeeTester2012

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Zeigen sie dass... Summe n über k

Meine Frage:
Guten Tag zusammen,

In einer Aufgabe mit der ich mich ein bisschen beschäftigt habe, soll ich Zeigen,
dass n e E (n Element der Natürlichen Zahlen) gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n (-1)^k \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Würde es reichen für n jeweils -1 und 1 einzusetzen oder muss in dieser Aufgabe noch mehr gezeigt werden ?

Bitte um Hilfe
DANKE

06.10.2014, 13:26

Tuling

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Benutze den Binomi.

06.10.2014, 13:34

TeeTester2012

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Danke,
Hab ich auch schon dran gedacht, nur ich komme da einfach nicht weiter.
Wie müsste das in meinem Beispiel aussehen ?

06.10.2014, 13:43

Optimizer

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Der binomische Lehrsatz lautet ja:

$\begin{eqnarray*} (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k} a^{n-k}b^{k}} \end{eqnarray*}$

Wie müsste man a und b wählen, um dies auf deine Summe anwenden zu können?

06.10.2014, 13:47

TeeTester2012

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ist nicht a^k und b^n-k ?

Ich würde sagen b=0 und a=-1

06.10.2014, 14:10

klarsoweit

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Zitat:

Original von TeeTester2012
ist nicht a^k und b^n-k ?

verwirrt

Was soll mir dieses sagen?

Zitat:

Original von TeeTester2012
Ich würde sagen b=0 und a=-1

Und worauf gründest du diese Annahme? Was stünde denn da, wenn du a und b so wählst?

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06.10.2014, 14:12

Optimizer

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Zitat:

Original von TeeTester2012
ist nicht a^k und b^n-k ?

Das ist egal, aber bleiben wir bei deiner Version:

$\begin{eqnarray*} (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k} a^{k}b^{n-k}} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Ich würde sagen b=0 und a=-1

Wenn du $\begin{eqnarray*} b = 0 \end{eqnarray*}$ setzt, ist deine Summe 0, das kann also nicht stimmen. Dein Wert für a stimmt allerdings! Wie musst du nun b setzten?

06.10.2014, 14:20

TeeTester2012

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b = 1 ?

Okay, so langsam verstehe ich die Thematik. Nur wenn ich a und b habe wie muss dann weiter gemacht werden? Was ist das langfristige Ziel hierbei oder habe ich mit a und b bereits das Ende der Aufgabe gefunden ? ?

06.10.2014, 14:46

Optimizer

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Zitat:

Original von TeeTester2012
b = 1 ?

Genau! Was das nun bringt? Jetzt bist du praktisch fertig, jetzt brauchst du die Teile nur mehr zusammen setzen. Was steht denn nun auf der linken Seite der binomischen Formel, wenn du a= -1 und b= 1 einsetzt? Und beachte was du zeigen sollst!

06.10.2014, 15:01

TeeTester2012

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Sehr gut Danke soweit.

Also wenn ich die Werte einsetze komme ich auf:

links:

$\begin{eqnarray*} (-1 + 1)^n \end{eqnarray*}$

Rechts:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix} -1^n*1^n-k \end{eqnarray*}$

Aber ich sehe noch nicht ganz das, was zu zeigen ist

06.10.2014, 15:07

Optimizer

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Was zu zeigen ist, steht in der Aufgabenstellung. Welchen Wert hat denn die linke Seite, wenn du den Ausdruck aus deinem Post vereinfachst? Deine rechte Seite ist übrigens falsch, die Potenz von -1 ist k (und nicht n).

06.10.2014, 15:08

klarsoweit

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Zitat:

Original von Optimizer
Wenn du $\begin{eqnarray*} b = 0 \end{eqnarray*}$ setzt, ist deine Summe 0

Das stimmt zwar nicht, aber in der Tat ist b=1 die bessere Wahl.

Zitat:

Original von TeeTester2012
links:

$\begin{eqnarray*} (-1 + 1)^n \end{eqnarray*}$

Und was ist $\begin{eqnarray*} (-1 + 1)^n \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von TeeTester2012
Rechts:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix} -1^n*1^n-k \end{eqnarray*}$

Aber ich sehe noch nicht ganz das, was zu zeigen ist

Besser: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \binom n k (-1)^k \cdot 1^{n-k} \end{eqnarray*}$

Da kann man noch etwas vereinfachen.

EDIT: und bin wieder weg.

06.10.2014, 15:16

TeeTester2012

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Die linke Seite ist dann = 0^n also 0.

Im Formeleditor hat das mit der rechten Seite nicht ganz geklappt, aber ich meinte eigentlich das richtige.

Rechte Seite vereinfacht müsste dann sein:
$\begin{eqnarray*} -1^n-k+1 \end{eqnarray*}$

06.10.2014, 15:23

Optimizer

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Deine linke Seite stimmt, deine rechte nicht. Wir wollen die rechte Seite vereinfachen, also den Ausdruck:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}(-1)^k\cdot 1^{n-k}} \end{eqnarray*}$

Wie lässt sich dieser Term vereinfachen (es ist wirklich nur ein winziger elementarer Schritt)? Schau dir auch an, welche Gleichung wir zeigen wollen.

06.10.2014, 15:29

TeeTester2012

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$\begin{eqnarray*} (-1 +1)^n \end{eqnarray*}$

jetzt müsste es passen

06.10.2014, 15:43

TeeTester2012

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Wie müsste denn eine abschließende "Bewertung" diesbezüglich aussehen ?
Also sozusagen, was müsste am Ende noch formuliert werden ?

Für alle n e N gilt die Behauptung oder wie ?

06.10.2014, 15:50

klarsoweit

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Also irgendwie trittst du auf der Stelle. Fassen wir mal zusammen:

Zeigen sollst du: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} = 0 \end{eqnarray*}$

Bislang haben wir: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}(-1)^k \cdot 1^{n-k} = 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt mußt du die linke Seite der unteren Gleichung noch etwas umformen, daß eben genau das dort steht, was in der linken Seite der oberen Gleichung steht. Möglicherweise ist dieser Schritt auch etwas zu trivial, aber er muß dennoch gegangen werden. smile

smile

06.10.2014, 20:44

TeeTester2012

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Kann das bitte jemand für mich auflösen, ich komme nicht drauf verwirrt

verwirrt

07.10.2014, 07:05

TeeTester2012

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Okay, nochmal selbst...
also 1^{n-k} ist (1^n)/(1^k) wenn ich jetzt dividiere, muss ich mit dem Kehrwert mal nehmen, sodass
(1^n)/(1^k) zu (1^k)/(1^n) wird welches auch 1^{k-n} bedeutet:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix} (-1)^k \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 1^{k-n} \end{eqnarray*}$

07.10.2014, 08:35

klarsoweit

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Zum einen kannst du nicht einen Term, der vom Laufindex k abhängt, einfach aus der Summe rausdividieren (oder sonstwie rausziehen). Zum anderen machst du es dir wirklich zu kompliziert. Jetzt lehne dich einfach mal zurück und überlege, was $\begin{eqnarray*} 1^{n-k} \end{eqnarray*}$ ist.

07.10.2014, 09:41

TeeTester2012

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1^n-k ist immer 1 egal mit welchem n.

Ist damit denn jetzt die Ausgangssituation gezeigt für n e N ?

07.10.2014, 09:53

klarsoweit

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Ich weiß jetzt nicht, warum du das, was zu beweisen ist, als Ausgangssituation bezeichnest (das ist doch eher das Ziel der ganzen Aktion), aber nun denn, ja, damit ist der Beweis abgeschlossen.

07.10.2014, 10:13

TeeTester2012

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Komisch, manchmal macht man es sich unnötig kompliziert.

Großes Dankeschön an alle, die mir weitergeholfen haben!

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