Beweis, dass eine Menge leer ist

07.10.2014, 14:19

balance

Beweis, dass eine Menge leer ist

Hallo,

Die Aufgabe lautet: Seien M und N zwei Mengen mit $\begin{eqnarray*} M \neq N \end{eqnarray*}$ . Angenommen, es existiert eine Menge L mit

$\begin{eqnarray*} M x L = N x L \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} L = \emptyset \end{eqnarray*}$

Also, dies ist ja eine allgemeingültige Aussage welche für alle Elemente gelten muss, dies ist ja nur mit dem neutralen Element des Kreuzsproduktes möglich. (Bitte korrigiert diese Aussage, mir ist bewusst, dass sie so garantiert inkorrekt ist). Jedenfalls möchte ich zwei evtl. verschiedene Elemente gleich machen (mal etwas lapidar gesagt) dies ist einfach nur möglich mittels leerer Menge, da beim Kreuzprodukt dann wiederum eine leere Menge resultiert.

Aber wie zeige ich das mathematisch? Ich hab echt absolut keinen Ansatz und die Literatur hilft mir nicht oder ich finde nichts was ich brauchen kann. Was ist also die Idee, wie man sowas beweist?

07.10.2014, 14:37

HAL 9000

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Beweise es z.B. indirekt: Angenommen $\begin{align*} L\neq\emptyset \end{align*}$ , dann existiert ein $\begin{align*} l\in L \end{align*}$ . Wegen $\begin{align*} M\neq N \end{align*}$ gibt es nun ein $\begin{align*} x\in M\setminus N \end{align*}$ oder ein $\begin{align*} x\in N\setminus M \end{align*}$ , o.B.d.A. ersteres. Was kann man nun über das geordnete Paar $\begin{align*} (x,l) \end{align*}$ sagen, hinsichtlich Enthaltensein oder nicht in $\begin{align*} M\times L \end{align*}$ bzw. $\begin{align*} N\times L \end{align*}$ ?

07.10.2014, 15:02

balance

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Inwiefern Beschränkt die Annahme $\begin{eqnarray*} x \in N\setminus M \end{eqnarray*}$ die Allgemeinheit?

Also:

Es gilt:
$\begin{eqnarray*} L \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ somit $\begin{eqnarray*} \exists l \in L \end{eqnarray*}$
Weiter kann ich o.B.d.A annehmen: $\begin{eqnarray*} x \in M \setminus N \end{eqnarray*}$ Mein X ist also in M aber nicht in N.

Das geordnete paar $\begin{eqnarray*} (x, l) \end{eqnarray*}$ resultiert aus $\begin{eqnarray*} L \times M \end{eqnarray*}$ nicht aber aus $\begin{eqnarray*} L \times N \end{eqnarray*}$ , da x ja in M ohne N ist und somit gilt ja $\begin{eqnarray*} x \notin N \end{eqnarray*}$

Da es sich um einen indirekten Beweis handelt, muss ich die Annahme ja widerlegen, wie also beweise ich, dass oberes nur per leere Menge funktioniert? Bis jetzt habe ich lediglich gezeigt, dass sie kein gemeinsames x haben (mir ist klar, das singular hier falsch ist und x eine allg. aussage ist), für welches ihr kartesisches Produkt gleich ist. Wenn es also kein x gibt, für welches es stimmt, gilt nur noch die leere Menge.

Ist das die Idee? Ist das nicht ein bisschen aehm wackelig?

07.10.2014, 15:07

HAL 9000

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Zitat:

Original von balance
Inwiefern Beschränkt die Annahme $\begin{eqnarray*} x \in N\setminus M \end{eqnarray*}$ die Allgemeinheit?

Ich dachte eigentlich, dass das nach meinen Ausführungen klar ist: Es gibt ein $\begin{align*} x\in M\setminus N \end{align*}$ oder ein $\begin{align*} x\in N\setminus M \end{align*}$ , aber nicht zwingend das erste und auch nicht zwingend das zweite. Aber da beide Fälle völlig analog behandelt werden können, habe ich das o.B.d.A. geschrieben. Durch diese lange Erklärung jetzt wäre es aber in der Tat kürzer gekommen, beide Fälle zu betrachten. Teufel

07.10.2014, 15:10

balance

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Ich lese deine Erklärung das explizit nur die zweite Variante die Allgemeinheit beschränkt. Aber lassen wir das, ich versteh sowieso nicht inwiefern das für eien der Aussagen hier gelten soll. Ich habe deinen Text durchaus verstanden, dass es zwei ANaloge Fälle gibt, ich hab bloss das o.B.d.A nicht verstanden.

Ich habe oben noch was dazu geschrieben, für mich ist noch nichts bewiesen, damit bin ich nicht zufrieden. Ist das der Beweis dafür?

07.10.2014, 15:11

HAL 9000

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Wenn du das o.B.d.A. nicht verstehst, dann betrachte eben beide Fälle - und das war mein letztes Wort dazu. Tränen

Zu deinem Beweis: Du hast jetzt $\begin{align*} (x,l)\in M\times L \end{align*}$ und $\begin{align*} (x,l)\not\in N\times L \end{align*}$ , das ist ein Widerspruch zur Voraussetzung $\begin{align*} M\times L = N\times L \end{align*}$ - was brauchst du noch? verwirrt

07.10.2014, 15:19

balance

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Ich hab o.B.d.A nie nachgeschaut, hat doch bissl was anderes bedeutet als ich dachte, mein Fehler.

Ist das Ding nun bewiesen? Kann ich den Schluss von "für kein x möglich also leere Menge" irgendwie noch math. ausformulieren? So wirkt es halt etwas plump (für mich).

Danke!

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