Verknüpfung

07.10.2014, 15:02

winki2008

Verknüpfung

Hallo!

Ich habe schon wieder ein weiteres spannendes Bsp. bei dem ich nicht ganz weiterkomme bzw. verstehe ich es nicht ganz.

Bei Bsp a) Exponentiation $\begin{eqnarray*} a*b:=a^{b} a,b\in \mathbb N \end{eqnarray*}$
bedeutet dies das bei Kommutativität $\begin{eqnarray*} b*a\Rightarrow b^{a} a,b\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ oder ist dies eine Fehlinterpretation von mir.

Ich denke mir, dass muss doch so ähnlich sein wie wenn man Funktionen miteinander verkettet
wie:

$\begin{eqnarray*} f=sin(x); g=x² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} fog = sin(x²) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} gof = (sin(x))² \end{eqnarray*}$

oder irre ich mich?

Ich bedanke mich für die Antworten im vorraus.

[attach]35611[/attach]

07.10.2014, 16:16

Stephan Kulla

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RE: Verknüpfung
Korrektur im Vorfeld:

Die Schreibweise $\begin{eqnarray*} a*b:=a^{b} a,b\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist falsch. Schreibe $\begin{eqnarray*} \forall a,b\in \mathbb N : a*b:=a^{b} \end{eqnarray*}$ (Quantoren stehen am Anfang der Aussage und nicht am Ende – es gibt Mathematiker, die es anderes machen, jedoch ist diese Schreibweise streng genommen falsch).

Auch die Schreibweise $\begin{eqnarray*} b*a\Rightarrow b^{a} a,b\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist missverständlich. Wieso benutzt du hier $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ ?! Schreibe $\begin{eqnarray*} \forall a,b\in \mathbb N : b*a:=b^{a} \end{eqnarray*}$

Aber ja, deine Vermutung ist richtig. In der a) ist $\begin{eqnarray*} b*a:=b^{a} \end{eqnarray*}$ . Du musst also in der a) zeigen, dass $\begin{eqnarray*} a^b=b^a \end{eqnarray*}$ für alle natürlichen Zahlen a und b ist oder ein Gegenbeispiel dafür finden.

Zur zweiten Frage: Verwechsle bei der a) nicht $\begin{eqnarray*} * \end{eqnarray*}$ mit der Komposition von Funktionen $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ . Die Symbole sind zwar ähnlich. Haben hier aber nichts miteinander zu tun.

07.10.2014, 17:09

winki2008

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RE: Verknüpfung
Danke für deine gute Antwort, dass Quantoren zu Beginn geschrieben werden, werde ich mir merken.

Das Bsp.:

$\begin{eqnarray*} a^b=b^a \end{eqnarray*}$ ist ja z.B. dann richtig wenn a=b oder b=a ist oder 2^4=4^2.

Aber für alle natürliche Zahlen ist diese Aussage ja falsch. Kann man das auch schöner Beweisen als experimentell über Zahlen einsetzen?

In der Fragestellung war dann noch gefragt diese Exponentiation auf Assoziativität zu prüfen. Aber ist hier das "Klammergesetz" nicht ein wenig überflüssig oder wie ist das zu verstehen?

Danke für die Antwort im vorraus

07.10.2014, 22:32

Stephan Kulla

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RE: Verknüpfung

Zitat:

Aber für alle natürliche Zahlen ist diese Aussage ja falsch. Kann man das auch schöner Beweisen als experimentell über Zahlen einsetzen?

Wenn du zeigen möchtest, dass nicht für alle natürlichen a und b die Gleichung $\begin{eqnarray*} a^b=b^a \end{eqnarray*}$ gilt, dann musst du ein konkretes Gegenbeispiel angeben. Also konkrete a und b nennen, für die $\begin{eqnarray*} a^b \neq b^a \end{eqnarray*}$ . Welche sind das zum Beispiel?

Zitat:

In der Fragestellung war dann noch gefragt diese Exponentiation auf Assoziativität zu prüfen. Aber ist hier das "Klammergesetz" nicht ein wenig überflüssig oder wie ist das zu verstehen?

Welche Gleichung müsste gelten, wenn die Verknüpfung assoziativ wäre? Schreibe dies mal mit den Potenzen und den richtigen Klammern auf. Wie lautet dann die Gleichung?

08.10.2014, 19:43

winki2008

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Hast du das damit gemeint:

$\begin{eqnarray*} a^{b}=a^{(b)}=(a)^{b}=(a)^{(b)}<br /> \end{eqnarray*}$
Bitte nicht böse sein, wenn es falsch ist.

08.10.2014, 20:14

Stephan Kulla

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Nope, für die Assoziativität müsste folgende Gleichung gelten:

$\begin{eqnarray*} a*(b*c)=(a*b)*c \end{eqnarray*}$

Wie lautet diese Gleichung in a) in der Potenzschreibweise?

08.10.2014, 20:33

winki2008

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Ist da etwa das gemeint:

$\begin{eqnarray*} a^{b*c} =(a^{b})^c \end{eqnarray*}$

08.10.2014, 20:36

winki2008

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sorry, so meinte ich
$\begin{eqnarray*} a^{(b^{c)}} =(a^{b})^c \end{eqnarray*}$

08.10.2014, 20:39

Stephan Kulla

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Richtig

Gilt diese Gleichung für alle natürlichen Zahlen a,b,c?

08.10.2014, 20:46

winki2008

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Gilt nicht für alle natürlichen Zahlen

reicht hier der Beweis aus, wenn man konkret Zahlen einsetzt?

08.10.2014, 21:31

Stephan Kulla

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Jop, als Beweis reicht es aus konkrete Zahlen für a,b,c anzugeben, so dass $\begin{eqnarray*} a^{(b^{c)}} \neq(a^{b})^c \end{eqnarray*}$

08.10.2014, 22:13

winki2008

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Danke...dann nur noch ein paar Fragen zu den anderen Bsp.

b)

Kommutativität:

$\begin{eqnarray*} ggT(a,b)=ggT(b,a)<br /> \end{eqnarray*}$

wahr für alle natürlichen Zahlen war

Assoziativität:

$\begin{eqnarray*} ggT(a,ggT(b,c))=ggT(ggT(a,b),c) \end{eqnarray*}$

auch wahr für alle natürlichen Zahlen

c) a,b,c sind vektoren

Kommutativität:

$\begin{eqnarray*} a\times b\neq b\times a \end{eqnarray*}$
richtig müsste es heißen
$\begin{eqnarray*} a \times b=-b \times a \end{eqnarray*}$ antikommutativ

Assoziativität

$\begin{eqnarray*} a \times (b \times c)\neq(a \times b) \times c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a\times(b\times c)=b*(a*c)-c*(a*b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a\times b)\times c=b*(a*c)-a*(b*c) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c*(a*b)\neq a*(b*c) \end{eqnarray*}$

Hab ich das Bsp. richtig gelösst?

Danke

08.10.2014, 22:21

Stephan Kulla

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passt soweit Augenzwinkern

In der c) sollst du nach der Aufgabenstellung konkrete Gegenbeispiele, also konkrete Vektoren, angeben, bei denen die Gleichungen nicht erfüllt sind.

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