Wahrscheinlichkeit Zahl kleiner als andere Zahl |
| 08.10.2014, 13:43 | Holgi3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Wahrscheinlichkeit Zahl kleiner als andere Zahl Problemstellung: Auf 3 Karten wird jeweils eine Zahl geschrieben. Die zahlen sind ganze Zahlen und unterschiedlich. Die Zahlen sind wahllos als A, B und C gegeben. Nun wird A mit B verglichen und die kleiner Zahl wiederum mit C verglichen. Aufgabe: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die kleiner Zahl aus A und B kleiner ist als C? Meine Ideen: Da ich ja keine Zahl kenne würde ich sagen beim vergleich von A (erste Karte) und B (zweite Karte), ist die Wahrscheinlichkeit für jede Karte 50%, das sie kleiner ist als die andere. Die kleine Zahl wird dann wieder mit C verglichen, was auch wieder 50% macht, da ja im Prinziep jede Zahl ganze Zahl unter der Karte stehen könnte. Somit würde sich die Wahrscheinlichkeit für Ergeben Zu P = 0.5*0.5 = 0.25. Meine Frage ist, ob ich das richtig durchdacht habe? Grüße, Holger |
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| 08.10.2014, 16:33 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Aufgabe ist schlecht gestellt, da keine Wahrscheinlichkeitsverteilung beim "Auswürfeln" der ganzen Zahlen vorgegeben ist. 
Die "natürliche" Wahl wäre die Gleichverteilung, aber die existiert auf oder auch nicht.
Beschränkt man sich aber auf ein Intervall wie z.B. und darauf die Gleichverteilung, dann hängt das Ergebnis der Aufgabe sehr wohl von ab... |
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| 08.10.2014, 16:45 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Aufgabe würde ich so interpretieren, dass man sich die 3 Zahlen als gegeben betrachtet und sie zufällig mit den Namen A, B und C versehen werden. Dann kommt es doch nur darauf an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die kleinste Zahl den Namen C bekommt. |
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| 08.10.2014, 16:48 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Inwiefern entkräftet das meinen Einwand? 
Das gleiche Problem für reelle Zahlen gestellt, hat man auch das Problem, dass keine stetige Gleichverteilung auf den reellen Zahlen existiert. Dort ist es dann aber so, dass bei Einschränkung auf ein beliebiges endliches Intervall die Ergebniswahrscheinlichkeit unabhängig vom konkreten Intervall ist - schlicht weil bei der stetigen Verteilung Gleichheit zweier der drei Zahlen nur mit Wahrscheinlichkeit Null passieren kann. Hier bei den ganzen Zahlen ist das nicht so... EDIT:
Hatte ich überlesen - vermutlich weil es beim unabhängigen Aufschreiben schlicht nicht realisierbar ist... 
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| 08.10.2014, 16:54 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So wie ich das sehe, kommt es auf den Auswahlprozess der Zahlen nicht an. Man hat 3 Zettel mit 3 unterschiedlichen Zahlen darauf. Die dreht man um, mischt sie sorgfältig und beschriftet die Rückseiten mit A, B und C. Dann ist die Wahrscheinlicheit, dass der Zettel mit der kleinsten Zahl den Namen C bekommt 1/3. |
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| 08.10.2014, 16:57 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Siehe EDIT - na dann mach du mal weiter und kläre den Fragesteller über seinen Irrtum mit den 1/4 auf. 
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| 08.10.2014, 16:59 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die jetzigen Hinweise sollten für den Fragesteller ausreichen. Falls nicht, mache ich gern weiter. |
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| 08.10.2014, 17:35 | Holgi3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aber zunächst werden doch nur A und B verglichen und dann die kleiner Zahl mit C. Wie kommt es dann zu einer Wahrscheinlichkeit von 1/3? |
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| 08.10.2014, 18:48 | Schmiddi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hey, ist es nicht so: Es werden beliebige Zahlen A und B gewählt, eine der beiden Zahlen ist definitiv kleiner. Diese beliebige Zahl vergleicht man mit einer weiteren beliebigen Zahl C. Es werden also zwei beliebige Zahlen verglichen. Nach bereits erfolgten Argumentationen wäre C dann mit 50% kleiner als die kleinere Zahl von A und B. |
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| 08.10.2014, 19:18 | Holgi3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja so sehe ich das eigentlich auch. Wenn jetzt aber noch gefragt ist, wie in der Aufgabenstellung, ob die kleinere Zahl aus dem Vergleich von A und B ebenfalls kleiner ist als C ergibt sich 0.5*0.5 =0.25 oder nicht? |
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| 08.10.2014, 19:30 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da Huggy momentan nicht da ist: Wir sind uns ja nun einig, dass drei verschiedene ganze Zahlen zufällig den drei Karten A,B,C zugeordnet werden. Ordnet man nun die drei Karten aufsteigend der Größe nach, so ergibt das eine Permutation von A,B,C, und nach dem obigen Zuordnungsverfahren ist jede der Permutationen gleichwahrscheinlich. Wir suchen nun die Wahrscheinlichkeit, dass A oder B vor C in der geordneten Permutation auftaucht - oder mit anderen Worten, dass C nicht an erster Stelle der Permutation auftaucht... Oder einfacher ausgedrückt: Das Gegenteil von "Minimum von A,B ist kleiner als C" ist "Minimum von A,B ist größer als C", und letzteres ist gleichbedeutend damit, dass C die kleinste der drei Zahlen A,B,C ist... |
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| 08.10.2014, 19:39 | Holgi3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann verstehe ich das falsch. Ich dachte mir, mal legt C zur Seite und vergleicht A mit B. Die Chance, dass A<B und umgekehrt ist 50%. Die kleinere Zahl wird nochmals, mit C verglichen: Wieder eine Chance von 50%, dass die kleinere Zahl auch noch kleiner als C ist. Wo ist dabei mein Denkfehler? |
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| 08.10.2014, 19:45 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Richtig.
Das ist falsch: Wieso bist du der Meinung, dass auch hier die Chance 50% ist? Das sind nicht zwei der Ausgangszahlen, die du da vergleichst, sondern die eine ist bereits durch eine Operation (Minimumbildung zweier Zahlen) entstanden - denk da mal drüber nach!!! Und wenn du es nicht glaubst, mach doch ein Experiment: Beschrifte drei Karten mit drei Werten (sagen wir 1,2,3) und mische sie 100mal durch und lege sie jeweils der Reihe nach auf und bezeichne sie (jeweils temporär) mit A,B,C und notiere dann, wie oft von den 100 Versuchen dann min(A,B)<C ist. |
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| 08.10.2014, 19:52 | Holgi3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich war der Meinung, weil ich den zweiten Vergleich identisch mit dem ersten fand. Ist doch eigentlich eine beliebige Zahl und die Zahl unter der Karten C kann auch beliebig sein. Aber wie begründet man dann die Wahrscheinlichkeit von 1/3 mathematisch? |
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| 08.10.2014, 19:56 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn du das selbst nach meinen Argumenten noch hervorbringst, dann geht dein stochastisches Gespür gegen Null.
Und überhaupt: Selbst wenn das beim zweiten Mal 50% wären - wie kommt ihr dann insgesamt auf 25%? Ihr könnt doch nicht nur den Fall betrachten, dass A die kleinere der beiden Zahlen A,B ist! Auch wenn B<A und dann anschließend B<C gilt, sind die Bedingungen der Aufgabe erfüllt.
Es sind am Ende nicht 1/3, sondern 2/3 - dazu habe ich oben die Begründung geliefert. Ja, "mathematisch", auch wenn wenig Formeln da stehen.
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| 08.10.2014, 20:00 | Holgi3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mmh also klar ist mir das ehrlich gesagt nicht! |
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| 08.10.2014, 20:03 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Betrachten wir letzteres: C ist mit Wkt 1/3 die kleinste der drei gleichberechtigten Zahlen A,B,C - oder ziehst du das in Zweifel? Und die Gegenwkt dazu (also 2/3) ist die in der Aufgabe gesuchte. |
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| 08.10.2014, 20:07 | Holgi3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay die Begründung ist schlüssig, aber warum ist die Wkt, dass C die kleinste Zahl ist 1/3? Einfach 1/Anzahl oder warum? |
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| 08.10.2014, 20:12 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Holgi3 Bitte drücke nicht auf "zitat", wenn du antworten willst sondern auf "antworten". Ich werde die unnötigen Vollzitate in diesem Thread entfernen, da sie die Lesbarkeit des Threads erschweren. Danke für die Aufmerksamkeit. |
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| 08.10.2014, 20:31 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja klar. |
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