Beweis einer Nullmatrix

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09.10.2014, 21:17

antrax

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Beweis einer Nullmatrix

Hallo zusammen an Bord!! Wink

Hab mal ein kleines Prob. und hoffe auf eure Hilfe!!(wie immer Augenzwinkern

)

Mal im Ernst.

Folgende Aufgabenstellung:

Sei $\begin{eqnarray*} A \in M_{mn}(K ) \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} XA=0\in M_{mn}(K ) \end{eqnarray*}$ für alle Matrizen $\begin{eqnarray*} X \in M_{mm}(K ) \end{eqnarray*}$ gilt. Beweisen Sie, dass A die Nullmatrix in $\begin{eqnarray*} M_{mn}(K ) \end{eqnarray*}$

Mein Beweis:

Sei $\begin{eqnarray*} A \in M_{mn}(K ) \end{eqnarray*}$ eine Nullmatrix und $\begin{eqnarray*} X \in M_{mm}(K ) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m=n=2 \end{eqnarray*}$ . Es soll gelten, dass $\begin{eqnarray*} X_{m} A=D=A \end{eqnarray*}$ .
Es gilt $\begin{eqnarray*} X=\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} X_{m}A=\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}\Rightarrow D = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Somit ist $\begin{eqnarray*} D=A \end{eqnarray*}$ und es ist bewiesen, dass gilt $\begin{eqnarray*} X_{m} A=D=A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ sei eine Nullmatrix

So, dass war´s smile

Was meint ihr?? Kann man das so stehen lassen?? Danke schon mal für eure HILFE!! Freude

Gruß Chris

09.10.2014, 21:42

antrax

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Oh, da ist mir ein Fehler unterlaufen.

statt
$\begin{eqnarray*} X=\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

muss

$\begin{eqnarray*} X=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gelten

sorry Finger1

Gruß Chris

11.10.2014, 12:35

antrax

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Hallo zusammen, Wink

leider habe ich noch keine Reaktion auf meine Frage erhalten. traurig

Gibt es da vllt. ein Verständnisprob. mit der Aufgabe??

Wäre über eine Antwort dankbar!!

Danke!!

Gruß Chris

11.10.2014, 15:11

kgV

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Deine Idee mit der Einheitsmatrix ist goldrichtig Freude

Wenn $\begin{eqnarray*} XA=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ gilt, dann auch speziell für $\begin{eqnarray*} X=I_m \end{eqnarray*}$ . Das war dann auch schon der ganze Zauber.

Dass du noch keine Rückmeldung bekommen hast, liegt daran, dass du deinen Beweis (tschuldige Big Laugh

) einfach unmöglich formulierst.

Deinen Ansatz überlassen wir am Besten der Tonne und fangen mit der Formulierung neu an (die Idee stimmt wie gesagt). Ich fange den Beweis einmal so an:

Als erstes sei $\begin{eqnarray*} A\in M_{mn}(K) \end{eqnarray*}$ beliebig, so dass $\begin{eqnarray*} XA=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} X\in M_{mm} \end{eqnarray*}$ .

So, jetzt du smile

Formuliere mal deine Idee mit der Einheitsmatrix in einem Satz. Versuche dabei, möglichst kurz und präzise zu bleiben smile

Lg
kgV

PS. ich verschiebe das Thema mal an seinen angestammten Platz in der Hochschulmathe

12.10.2014, 09:01

antrax

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Hallo kgV

sorry, dass ich mich erst jetzt melde!! Aber erstmal vielen Dank für deine Antwort Freude

und Anregung.

Wie du schon gemerkt hast sind das Formulierungen eines Erstsemesters. Da fehlt es noch an Erfahrung Lesen1

Ich freue mich zwar, dass ich soweit richtig lag aber dass es so schlimm ist Augenzwinkern

hätte ich nicht gedacht geschockt

Aber dafür lernt man ja...

Ich werde mal deinen Anfang nehmen und versuchen es weiter zu formulieren:

"Es sei $\begin{eqnarray*} A\in M_{mn}(K) \end{eqnarray*}$ beliebig, so dass $\begin{eqnarray*} XA=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} X\in M_{mm} \end{eqnarray*}$ gilt. Wenn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine Nullmatrix ist, $\begin{eqnarray*} X\in M_{mm} \end{eqnarray*}$ sei und $\begin{eqnarray*} X_{m}A=A \end{eqnarray*}$ gilt, dann folgt daraus dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine Nullmatrix ist."

Puh, das war´s. Ich hoffe, dass das dem Ergebnis näher kommt verwirrt

Leider habe ich sonst nicht mehr viele Ideen unglücklich

Danke schon mal vorab!!! Freude

Gruß Chris

12.10.2014, 10:02

kgV

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Leider stimmt das immer noch nicht smile

Zitat:

Wenn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine Nullmatrix ist,

Du musst dich von dem Gedanken verabschieden, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ die Nullmatrix ist, denn das willst du beweisen. Deswegen kannst du das nicht im Beweis verwenden (das wäre ungefähr so nützlich wie: "die Rose ist rot, also ist die Rose rot" Augenzwinkern

).
Stattdessen solltest du eher so weitergehen: $\begin{eqnarray*} XA \end{eqnarray*}$ ist die Nullmatrix für alle $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ (denn genau das ist ja als Voraussetzung gegeben), also auch insbesondere für...

Und genau hier solltest du jetzt die Einheitsmatrix erwähnen (btw: meinst du mit $\begin{eqnarray*} X_m \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} m\times m \end{eqnarray*}$ -Einheitsmatrix?), denn die hat ja eine weitere hier wichtige Eigenschaft, nämlich dass sie bei Multiplikation mit einer beliebigen Matrix immer diese andere Matrix ergibt.

12.10.2014, 13:44

antrax

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Hi kgV

vielen Dank für deine Antwort. Ich tue mich echt etwas schwer mit der Formulierung. Bei der vollständigen Induktion gibt es eine "bestimmte" Abfolge für einen Beweis, damit meine ich bspw. Induktionanfang usw. Hier ist das anders und das ist mein Prob.

Aber genug gejammert traurig

Und nochmal Hammer

DANKE für deine Hilfe!! Gott

Gruß Chris

12.10.2014, 14:01

kgV

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Schon bedeutend besser smile

Nur eine Kleinigkeit:

Zitat:

Ist $\begin{eqnarray*} XA \end{eqnarray*}$ die Nullmatrix für alle $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ . Insbesondere auch für $\begin{eqnarray*} X_m \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_{ii}=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{ij}=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \color{blue}i\neq j \end{eqnarray*}$ , folgt daraus $\begin{eqnarray*} X_{m}A = A \end{eqnarray*}$ "

Das Rote gehört ergänzt und den blauen Teil habe ich der Verständlichkeit wegen umgestellt.

Jetzt musst du nur noch den finalen Schluss ziehen und dann bist du fertig smile

Also: $\begin{eqnarray*} X_mA=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_mA=A \end{eqnarray*}$ , also muss was sein?

12.10.2014, 14:15

Che Netzer

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Und nachdem es hier schon eine Rückmeldung gab, wurde die Frage hier nochmal gestellt.

12.10.2014, 14:18

antrax

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Hi kvG

Du machst mich feritg Augenzwinkern

, kleiner Spass smile

Jetzt aber...

"Es sei $\begin{eqnarray*} A\in M_{mn}(K) \end{eqnarray*}$ beliebig, so dass $\begin{eqnarray*} XA=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} X\in M_{mm} \end{eqnarray*}$ gilt.
Ist $\begin{eqnarray*} XA \end{eqnarray*}$ die Nullmatrix für alle $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ . Insbesondere auch für $\begin{eqnarray*} X_m \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_{ii}=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{ij}=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \color{blue}i\neq j \end{eqnarray*}$ ,
folgt daraus $\begin{eqnarray*} X_{m}A = A \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist die Nullmatrix.(?)" Erstaunt2

Danke!!!!!
Gruß Chris

Hab nichts mit der anderen Frage zu schaffen!

12.10.2014, 14:26

kgV

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Ja, stimmt soweit. A ist die Nullmatrix. Aber die eigentliche Begründung unterschlägst du nach wie vor. Schau dir mal die linken Seiten der beiden Gleichungen an, die ich im letzten Satz erwähnt habe. Da sollte doch etwas auffallen Augenzwinkern

12.10.2014, 14:27

kgV

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Zitat:

Hab nichts mit der anderen Frage zu schaffen!

Wäre auch etwas seltsam, weil wir hier doch schon quasi fertig sind Augenzwinkern

Außerdem scheint mir der Ansatz drüben ein etwas anderer zu sein, deswegen fällt es mir hier relativ leicht, dir zu glauben smile

Danke dennoch für die Aufmerksamkeit @ Che Netzer

12.10.2014, 14:41

antrax

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Hi,

Zitat:

@kgV... deswegen fällt es mir hier relativ leicht, dir zu glauben smile

danke!!

Zitat:

Schau dir mal die linken Seiten der beiden Gleichungen an, die ich im letzten Satz erwähnt habe. Da sollte doch etwas auffallen

Meinst du vllt das dann gilt: $\begin{eqnarray*} X_mA=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_mA=A\Rightarrow A=0 \end{eqnarray*}$ oder stehe ich auf dem Schlauch Hammer

Sollte das dann so sein:

Beweis:

"Es sei $\begin{eqnarray*} A\in M_{mn}(K) \end{eqnarray*}$ beliebig, so dass $\begin{eqnarray*} XA=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} X\in M_{mm} \end{eqnarray*}$ gilt.
Ist $\begin{eqnarray*} XA \end{eqnarray*}$ die Nullmatrix für alle $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ . Insbesondere auch für $\begin{eqnarray*} X_m \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_{ii}=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{ij}=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \color{blue}i\neq j \end{eqnarray*}$ ,
folgt daraus $\begin{eqnarray*} X_{m}A = A \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} A=0 \end{eqnarray*}$ die Nullmatrix."

JETZT aber Gott

Danke!!!

Gruß Chris

12.10.2014, 14:51

kgV

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Ja, genau das meine ich Freude

"Es sei $\begin{eqnarray*} A\in M_{mn}(K) \end{eqnarray*}$ beliebig, so dass $\begin{eqnarray*} XA=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} X\in M_{mm} \end{eqnarray*}$ gilt.
Ist $\begin{eqnarray*} XA \end{eqnarray*}$ die Nullmatrix für alle $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , dann auch insbesondere auch für $\begin{eqnarray*} X_m \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_{ii}=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{ij}=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i\neq j \end{eqnarray*}$ ,
Damit folgt aus $\begin{eqnarray*} X_{m}A = A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_mA=0 \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ die Nullmatrix ist."

Eine Kleinigkeit habe ich noch geändert, um die Verständlichkeit zu erhöhen und die Aufmerksamkeit auf die Hauptargumente zu legen, damit aber sollte das Ganze dann passen smile

12.10.2014, 14:58

antrax

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Hi @kgV

Super

!!! Danke für deine Hilfe und Geduld! Freude

Wenn ich mir jetzt meinen ersten Beweis anschaue und nun die fertige letzte Version, dann weiss ich, was du mit "Mülltonne" meintest. Aber ich kann mir nur echt schwer vorstellen, wie das in der Klausur bei mir laufen soll... aber naja, schauen wir mal.

Erstmal bin ich darüber froh, dass das alles mit deiner Hilfe geklappt hat!

So, jetzt werde ich mal frische Luft schnappen und etwas rausgehen. Dir noch viel Spass weiterhin @kgV Wink

Gruß Chris

12.10.2014, 15:04

kgV

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Gern geschehen smile

Die Präzision in der Beweisführung kommt mit der Übung, mach dir da mal keine Sorgen smile

Genieße die frische Luft Augenzwinkern

Du hast sie dir verdient

PS. Ich habe am Beweis noch einen Index "m" in der letzten Zeile eingefügt, da hatte ich mich verschrieben

12.10.2014, 15:11

antrax

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Alles klar, danke! Werde es beachten.

Tschüsss Wink