Mengen, Differenz und Distributivität

09.10.2014, 23:43

webi

Mengen, Differenz und Distributivität

Hallo,
habe die Aufgabe $\begin{eqnarray*} A\diagdown(B\cap C) = (A\diagdown B) \cap (A\diagdown B) \end{eqnarray*}$ zu beweisen, allerdings komm ich nicht wirklich weiter.

Zu beweisen gilt ja das beide jeweilig Teilmengen voneinander sind. Also habe ich so auf der linken Seite begonnen:

Es gilt $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \not\in (B\cup C) \end{eqnarray*}$
Fall 1 wäre dann doch: $\begin{eqnarray*} a\in A \wedge a \not\in B \end{eqnarray*}$

Aber weiß nicht wie jetzt weiter da die Aussage ja so nicht die rechte Seite beweist

09.10.2014, 23:57

Yakyu

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

kennt ihr schon die De Morgansche Gesetze?

10.10.2014, 00:14

webi

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, nein noch nicht gehabt, wollte nur beim Übungsblatt schonmal vorarbeiten.
Aber gerade mal geguckt im Grunde klar. Könntest du mir einen Tipp geben wo ich da jetzt ansetzen muss bzw. fortführen?

10.10.2014, 00:25

Yakyu

Auf diesen Beitrag antworten »

Klar, im Grunde würdest du Sie schon verwenden, wenn du deinen Beweis zu Ende führst. Ich glaub der wichtige Schritt ist bei dir, dir klar zu machen, dass
$\begin{eqnarray*} x \in A \quad \cap \quad x \notin (B \cup C) \end{eqnarray*}$
dasselbe bedeutet wie
$\begin{eqnarray*} (x \in \cap x \notin B) \cap (x \in A \cap x \notin C) \end{eqnarray*}$ .

Mit De Morgan kannst du alles schon in einer Reihenfolge von Gleichungen schreiben:
$\begin{eqnarray*} A \setminus (B \cup C) = A \cap (B \cup C)^c = A \cap (B^c \cap C^c) = (A \cap B^c) \cap (A \cap C^c) = A \setminus B \cap A\setminus C \end{eqnarray*}$

10.10.2014, 00:37

webi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok verstehe soweit, aber würde das gerne wie auf der Folie(Anhang) machen und da komm ich trotzdem irgendwie nicht weiter. Bzw. ist vllt. doch noch ein Verständnisproblem vorhanden.

[attach]35662[/attach]

10.10.2014, 11:46

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

An welcher Stelle genau kommst du denn nicht weiter? Es wäre gut wenn du das Verständnisproblem etwas präzisieren könntest.

10.10.2014, 12:18

webi

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der Aufstellung der Fälle.
Linke Seite wäre dann also:
Es gilt $\begin{eqnarray*} (x \in \cap x \notin B) \cap (x \in A \cap x \notin C) \end{eqnarray*}$ .

Also gibts hier nur einen Fall oder? Da es und verknüpft ist. Somit wäre das der rechten Seite entsprechend und wahr.

Rechte Seite :
Ist ja im Grunde genommen dann genau das gleiche wie das linke aufgelöste oder ? ist das dann überhaupt noch nötig das zu beweisen ?

10.10.2014, 13:05

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Mengen, Differenz und Distributivität

Zitat:

Original von webi
habe die Aufgabe $\begin{eqnarray*} A\diagdown(B\cap C) = (A\diagdown B) \cap (A\diagdown B) \end{eqnarray*}$ zu beweisen

Vermutlich soll wohl eher dies gezeigt werden: $\begin{eqnarray*} A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C) \end{eqnarray*}$

Jetzt mußt du beide Seiten so umformen, daß links und rechts das gleiche steht. Verteilt über dieses Thread war das ja schon gemacht worden.

10.10.2014, 13:14

webi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Mengen, Differenz und Distributivität
Ok danke dann habe ich es jetzt soweit verstanden Freude

Neue Frage »

Antworten »

Mengen, Differenz und Distributivität

Verwandte Themen