Differentialgeometrie, Geodätische, Energie

10.10.2014, 15:22	Sticke	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgeometrie, Geodätische, Energie Hallo, ich lerne gerade für eine Prüfung in Differentialgeometrie und hänge im Kapitel Geodätische fest. Wir haben folgendes definiert: Energie Sei $\begin{eqnarray} c:I\to {\mathbb{R}}^{n} \end{eqnarray}$ eine parametrisierte Kurve. Die Energie von c ist definiert durch $\begin{eqnarray} E(c):=\frac{1}{2} \int_I \! \\|\dot c(t)\\|^2 \, dt \end{eqnarray}$ . Geodätische Eine parametrisierte Kurve $\begin{eqnarray} c:I\to S \end{eqnarray}$ heißt Geodätische, falls für alle $\begin{eqnarray} t \in I \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} (\frac{\nabla}{dt} \dot c(t)=0) \end{eqnarray}$ (Geodätengleichung). Was kann ich mir unter diesen Definitionen anschaulich vorstellen? Komme da grade absolut nicht weiter :-( Ich hoffe ihr könnt mir helfen! Danke!!!
11.10.2014, 00:53	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgeometrie, Geodätische, Energie Aus der Schulphysik kennst du vermutlich noch die Formel $\begin{eqnarray} \frac m2\lVert v\rVert^2 \end{eqnarray}$ für die kinetische Energie eines Teilchens mit (Masse $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ und) Geschwindigkeitsvektor $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ . Summiere diese über die Kurve auf und nimm $\begin{eqnarray} m=1 \end{eqnarray}$ an. (Normierungsfaktor) Eine Geodätische ist eine Kurve, welche lokal längenminimierend ist: Zwischen zwei Punkten auf ihr, welche nahe genug beieinander liegen, ist sie die kürzeste Verbindung. Im Euklidischen waren das die Geradenstücke; diejenigen Kurven, deren zweite Ableitung verschwindet. Allgemeiner kannst du dir einen konstanten Geschwindigkeitsvektor vorstellen. Durch den Zusammenhang wird ja gerade ein Zusammenhang zwischen den Tangentialräumen hergestellt (daher der Name), mit dem Tangentialvektoren an verschiedenen Punkten tatsächlich verglichen werden kann – "konstant" ist also nicht ganz sinnfrei.

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