Integral berechnen

11.10.2014, 11:40

Doutzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Integral berechnen

Meine Frage:
Hallo Zusammen

Ich versuche gerade ohne Erfolg, diese Aufgabe zu lösen:

Berechne das Intergral
$\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^{\pi} \! |\sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{2^n} e^{inx} |^2 \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich dachte mir, dass mir die Bessel-Gleichung evtl. weiterhelfen könne:

$\begin{eqnarray*} || f| | = \left( \sum\limits_{k={-\infty }}^{\infty } | c_k |^2 \right) ^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ ,

Zudem gilt ja
$\begin{eqnarray*} || f| | = \sqrt{\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \! (f(x))^2 \, dx } \end{eqnarray*}$

Ich würde jetzt mal die beiden Gleichungen gleichsetzen:

$\begin{eqnarray*} \left( \sum\limits_{k={-\infty }}^{\infty } | c_k |^2 \right) ^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \! (f(x))^2 \, dx } \end{eqnarray*}$

Mit
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^n} = c_k \end{eqnarray*}$

Die Wurzel würde so dann wegfallen.Stimmt dieser Ansatz überhaupt? Und wenn ja, wie komme ich jetzt weiter? Bin gerade etwas ratlos..

Vielen Dank für einen Tipp smile

smile

11.10.2014, 12:23

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral berechnen
Ja, kann man so machen.
Jetzt nach dem Integral auflösen und den Reihenwert berechnen.
Allerdings stimmt deine Definition der c_k nicht. Beachte die Summationsgrenzen.

11.10.2014, 12:28

Nofeykx

Auf diesen Beitrag antworten »

Alternnativ könnte man den Reihenwert berechnen. Ist ja immerhin 'ne geometrische.

11.10.2014, 14:26

Doutzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe jetzt $\begin{eqnarray*} c_k \end{eqnarray*}$ mal mit dieser Formel ausgerechnet:

$\begin{eqnarray*} c_k = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \! f(x)e^{-inx} \, dx \end{eqnarray*}$

mit
$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{2^n} e^{inx} \end{eqnarray*}$

Da
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{2^n} = 2 \end{eqnarray*}$ ,

somit komme ich auf $\begin{eqnarray*} c_k = 2 \end{eqnarray*}$ . Stimmt dies? $\begin{eqnarray*} c_k \end{eqnarray*}$ wäre ja somit unabhängig von k....

11.10.2014, 14:39

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist falsch. Es ist auch völlig unnötig, weil f schon als Fourierreihe gegeben ist. Du kannst die Fourierkoeffizienten direkt ablesen und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^n} = c_k \end{eqnarray*}$ ist richtig, wenn man links k statt n schreibt. Es gilt aber nicht für alle $\begin{align*} k\in\mathbb{Z} \end{align*}$ Welchen Wert hat z.B. $\begin{align*} c_{-1} \end{align*}$

11.10.2014, 15:32

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral berechnen
Mach dir doch erst mal klar, dass gilt

$\begin{align*} \left|\sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{2^n} e^{inx} \right|^2 = \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{2^n} e^{inx} \cdot \overline{\sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{1}{2^k} e^{ikx} }=\sum\limits_{n=1}^{\infty }\sum\limits_{k=1}^{\infty }\frac{1}{2^{n+k}} e^{i(n-k)x} \end{align*}$

Dann frage dich, was das Integral
$\begin{align*} \int\limits_{-\pi}^{\pi}e^{i(n-k)x} \dd x \end{align*}$

ist, insbesondere für $\begin{align*} n\not= k \end{align*}$ .

Anzeige

11.10.2014, 15:52

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral berechnen
@RavenOnJ: Wieso ist das einfacher als der Weg, den Doutzi eingeschlagen hat?

11.10.2014, 16:01

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral berechnen

Zitat:

Original von URL
@RavenOnJ: Wieso ist das einfacher als der Weg, den Doutzi eingeschlagen hat?

Man braucht keine Bessel-Gleichung(? Ich kenne den Begriff in einem anderen Zusammenhang), sondern kann das Integral einfach ab initio lösen. Es stellt sich sofort heraus, dass das Integral zu einer einfachen, bekannten Reihe wird. Ich ziehe immer Wege ohne zusätzliche Hilfsmittel vor, wenn diese unnötig sind.

11.10.2014, 16:07

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral berechnen
Aber wenn er die Gleichung doch schon zur Verfügung hat ?

11.10.2014, 18:34

Doutzi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral berechnen

Zitat:

Es gilt aber nicht für alle $\begin{eqnarray*} k \in Z \end{eqnarray*}$

Für k = 0 ist ja der Bruch nicht definiert, aber sonst geht es doch für alle k, oder nicht?
Für k = -1 gilt doch $\begin{eqnarray*} c_{-1} = \frac{1}{2^{-1}} = 2 \end{eqnarray*}$ , also gilt $\begin{eqnarray*} c_k \end{eqnarray*}$ doch für alle k ausser 0? Oder mache ich da einen Überlegungsfehler?

Zitat:

Mach dir doch erst mal klar, dass gilt (...)

Das verstehe ich nicht wirklich... Wieso rechnest du die Summe mal die komplex konjugierte Summe, aber mit k statt n?

Das Integral ist doch 1 für n=k und 0 für n nicht gleich k, oder?

11.10.2014, 18:49

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral berechnen

Zitat:

Original von Doutzi

Das verstehe ich nicht wirklich... Wieso rechnest du die Summe mal die komplex konjugierte Summe, aber mit k statt n?

Das Integral ist doch 1 für n=k und 0 für n nicht gleich k, oder?

es geht um den Betrag zum Quadrat, also die Zahl mal ihrer konjugiert komplexen. n und k, weil Sie später in der Rechnung zusammen auftauchen. Außerdem ist es vollkommen egal, wie der Summationsindex heißt.

Es ist $\begin{align*} 2\pi \end{align*}$ bei n=k.

11.10.2014, 19:08

Doutzi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral berechnen
Also dann wäre:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^{\pi} \! |\sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{2^n} e^{inx} |^2 \, dx <br /> = \int_{-\pi}^{\pi} \! \sum\limits_{n=1}^{\infty } \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^{k+n}} e^{i(n-k)x} \, dx \end{eqnarray*}$

Respektive für n = k:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^{\pi} \! \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{2^{2n}} \, dx \end{eqnarray*}$

Und die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{2^{2n}} \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ .

Stimmt das soweit?

12.10.2014, 03:00

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral berechnen

Zitat:

Original von Doutzi
Also dann wäre:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^{\pi} \! |\sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{2^n} e^{inx} |^2 \, dx <br /> = \int_{-\pi}^{\pi} \! \sum\limits_{n=1}^{\infty } \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^{k+n}} e^{i(n-k)x} \, dx \end{eqnarray*}$

Respektive für n = k:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^{\pi} \! \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{2^{2n}} \, dx \end{eqnarray*}$

Und die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{2^{2n}} \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ .

Stimmt das soweit?

Stimmt soweit, kann man aber besser schreiben:

$\begin{align*} \int\limits_{-\pi}^{\pi} \! \left|\sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{2^n} e^{inx} \right|^2 \dd x&= \int\limits_{-\pi}^{\pi} \! \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{2^{n}} e^{inx} \overline{\sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{1}{2^{k}} e^{ikx}} \dd x \\ &= \int\limits_{-\pi}^{\pi} \! \sum\limits_{n=1}^{\infty } \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^{k+n}} e^{i(n-k)x} \dd x \\ &= \sum\limits_{n=1}^{\infty } \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^{k+n}} \int\limits_{-\pi}^{\pi} \! e^{i(n-k)x} \dd x \\&= 2\pi\sum\limits_{n=1}^{\infty } \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^{k+n}}\delta_{nk}\\&= 2\pi\sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{4^{n}}\\& =\frac{2\pi}{3} \end{align*}$

12.10.2014, 09:05

Doutzi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral berechnen
Super, vielen Dank für die Hilfe smile

smile

12.10.2014, 11:12

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral berechnen
Das bekommt man durch Einsetzen von $\begin{align*} c_k=\left\{ \begin{array}{rl} \frac{1}{2^k} & n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\\\<br /> 0 & \mbox{ sonst }\end{array} \right. \end{align*}$
in $\begin{align*} \sum |c_k|^2 \end{align*}$ auch ganz ohne Integration heraus

12.10.2014, 12:20

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral berechnen
@URL
Die Anwendung von Formelmaschinerie fördert nicht unbedingt das Verständnis. Solange es einen gut verständlichen Weg ohne diese Formeln gibt, sollte man den nutzen. Erst wenn explizit die Anwendung gewisser Methoden/Formeln gefordert ist, sollte man diese auch verwenden. Hier über Fourier-Reihen zu gehen ist schlicht unnötig. Man kommt aber durch solche Aufgaben zu einem Verständnis der Konzepte "Orthogonalität in Funktionenräumen" und Fourierreihen. Was die Absicht des Augabenstellers in diesem Fall war, entzieht sich unserer Kenntnis.

Just my 2 cents.

12.10.2014, 12:40

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral berechnen
@RavenOnJ
Verständnis vor Formelmaschinerie - da gebe ich dir uneingeschränkt recht.
Im vorliegenden Fall stört mich allerdings, dass der Fragesteller einen konkreten und zielführenden Weg beschritten hatte, von dem er unnötigerweise abgebracht wurde.
Allerdings: Wer hilft hat Recht, und nachdem sich Doutzi deinem Weg angeschlossen hat, warst das offenbar Du.

just my 0,0,2€

12.10.2014, 12:42

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral berechnen
smile

smile

Wink

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »