Mengengleichheit

11.10.2014, 13:35

schachtelkopf

Mengengleichheit

Meine Frage:
hey leute smile

ich brauch eure hilfe.

Folgendes, ich soll zeigen das $\begin{eqnarray*} X\cap(Y\bigtriangleup Z)= (X\cap Y)\bigtriangleup(X\cap Z) \end{eqnarray*}$

ich weis das ich zeigen muss das beide Teilmengen voneinander sind indem ich ein element aus $\begin{eqnarray*} X\cap(Y\bigtriangleup Z) \end{eqnarray*}$ nehme und zeige das es in $\begin{eqnarray*} (X\cap Y)\bigtriangleup(X\cap Z) \end{eqnarray*}$ ist, und umgekehrt.

das problem das ich habe ist das ich nicht genau verstehe wie ich das angehen soll.... das wurde uns leider nicht besonders gut erklärt.

wär klasse wenn sich jemand die zeit nimmt und mir das mal genau erklären könnte wie ich bei sowas vorgehen soll/muss um den beweis zu fürhren.

Meine Ideen:
bis jetzt hab ich mal den anfang gemacht.

$\begin{eqnarray*} X\cap(Y\bigtriangleup Z)= (X\cap Y)\bigtriangleup(X\cap Z) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} &\rightarrow & a \in X\cap(Y\bigtriangleup Z)\\ &\rightarrow & a\in X \land a \in (Y\bigtriangleup Z) \\ &\rightarrow & a \in X \land a \in (Y \cup Z) \land a \not\in (Y \cap Z) \end{eqnarray*}$

und jetzt komme ich ins straucheln .... kann ich jetzt erst mal nur
$\begin{eqnarray*} &\rightarrow & a \in X \land a \in (Y \cup Z) \end{eqnarray*}$ bearbeiten und $\begin{eqnarray*} a \not\in (Y \cap Z) \end{eqnarray*}$ aussenvor lassen oder muss ich das immer mitziehen ?
und wenn wie mache ich das dann am besten ?

wär sehr dankbar für hilfe

lg schachtelkopf smile

11.10.2014, 14:19

Math1986

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RE: Mengengleichheit
Hallo,
erstmal ist der Implikationspfeil $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ .

Zweitens kannst du ruhig erstmal mit $\begin{eqnarray*} a \in X \land a \in (Y \cup Z) \end{eqnarray*}$ weiterrechnen.

Drittens wäre es nun erstmal hilfreich, dir $\begin{eqnarray*} a\in (X\cap Y)\bigtriangleup(X\cap Z) \end{eqnarray*}$ anzusehen und dies umzuformen, um zu sehen worauf du am Ende kommen willst.

11.10.2014, 15:14

schachtelkopf

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hey danke dir schon mal Freude

ja ich bin jetzt schon weiter gekommen mit deinen tipps Gott

ich hab jetzt den anfang mal gelassen und versucht wie du mir geraten hast sozusagen von unten das aufzubauen.

$\begin{eqnarray*} a \in (X \cap Y) \bigtriangleup (X \cap Z) \\ & \Rightarrow & a \in (X \cap Y) \cup (X \cap Z) \land a \not\in (X \cap Y) \cap (X \cap Z) \\ & \Rightarrow &a \in (X \cap Y) \lor a \in (X \cap Z) \land a \not\in (X \cap Y \cap Z) \\ & \Rightarrow & a \in X \land a \in (Y \cup Z) \land a \in (X^{c} \cup Y^{c} \cup Z^{c}) \end{eqnarray*}$

vorne passt es perfekt zu dem was ich schon gemacht habe nur mal wieder des stücken hinten ... ist des sorgenkind. verwirrt

das müsste jetzt soweit doch richtig sein ?

11.10.2014, 15:21

Math1986

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Was genau ist $\begin{eqnarray*} Z^C \end{eqnarray*}$ ? Das Kompliment bezüglich welcher Obermenge? verwirrt

Das solltest du so nicht verwenden.

Du kannst nun $\begin{eqnarray*} a \not\in (Y \cap Z) \end{eqnarray*}$ mal etwas weiter umformen.

11.10.2014, 15:26

schachtelkopf

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hey

ok werd ich machen.

ja X ,Y,Z sind teilmenge der grundmenge M deswegen bin ich mal davon ausgegangen das ich das dann auch als komplement schreiben kann ...

11.10.2014, 15:44

Math1986

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Zitat:

Original von schachtelkopf
ja X ,Y,Z sind teilmenge der grundmenge M deswegen bin ich mal davon ausgegangen das ich das dann auch als komplement schreiben kann ...

Dann geht das, das sollte man dann aber auch von Anfang an so sagen Augenzwinkern

11.10.2014, 16:02

schachtelkopf

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hey ho

sorry hab nicht mitgedacht Hammer

$\begin{eqnarray*} a \not\in (Y \cap Z) \\ & \Rightarrow & a \in (Y \setminus Z) \lor a\in (Z \setminus Y) \\ &\Rightarrow & a \in (Y \cup Z) \land a \not\in (Y \cap Z) \\ & \Rightarrow & a \in Y \bigtriangleup Z \end{eqnarray*}$

jetzt müsste ich das nur noch in eine große wurst packen ?

was meinst du ist es einfacher mit dem komplement zu arbeiten oder denkst du das es so besser ist ?

11.10.2014, 16:14

Math1986

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Zitat:

Original von schachtelkopf
$\begin{eqnarray*} a \not\in (Y \cap Z) \\ & \Rightarrow & a \in (Y \setminus Z) \lor a\in (Z \setminus Y) \end{eqnarray*}$

Diese Implikation ist falsch, es kann auch $\begin{eqnarray*} a\not\in Y\land a\not\in Z \end{eqnarray*}$ sein.

ich meinte: $\begin{eqnarray*} a \not\in (Y \cap Z) \Rightarrow a\not\in Y\lor a\not\in Z \end{eqnarray*}$

11.10.2014, 16:29

schachtelkopf

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mhh ok gut ...

und wie gehe ich jetzt dann weiter vor ? verwirrt

11.10.2014, 16:46

Math1986

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Versuchs mal so:
$\begin{eqnarray*} a \in X\cap(Y\bigtriangleup Z) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a\in X \land a \in (Y\bigtriangleup Z) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a \in X \land a \in (Y \cup Z) \land a \not\in (Y \cap Z) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a \in X \land (a \in Y \lor a\in Z) \land (a\not\in Y\lor a\not\in Z) \end{eqnarray*}$

Zu zeigen ist nun das, was du oben schon umgeformt hast, nämlich
$\begin{eqnarray*} a \in (X \cap Y) \bigtriangleup (X \cap Z) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a \in (X \cap Y) \cup (X \cap Z) \land a \not\in (X \cap Y \cap Z) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (a \in (X \cap Y) \lor a \in (X \cap Z))\land a \not\in (X \cap Y \cap Z) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a \in X \land (a \in Y \lor a\in Z) \land (a\not\in X\lor a\not\in Y\lor a\not\in Z) \end{eqnarray*}$

Im Prinzip steht bis auf den kleinen Restterm schon alles da, den musst du jetzt auch noch zeigen.

11.10.2014, 17:18

schachtelkopf

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hey

ich komm einfach nicht drauf unglücklich

wie gesagt das auf der linken seite geht sich ja alles schön aus.

aber wie ich des mit $\begin{eqnarray*} a \not\in (X \cap Y \cap Z) \end{eqnarray*}$ auf nur $\begin{eqnarray*} a \not\in (Y \cap Z) \end{eqnarray*}$ bringe hab ich leider keine ahnung.

11.10.2014, 17:56

Math1986

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Du musst die gesamte Aussage betrachten:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a \in X \land (a \in Y \lor a\in Z) \land (a\not\in X\lor a\not\in Y\lor a\not\in Z) \end{eqnarray*}$
Wegen $\begin{eqnarray*} a\in X \end{eqnarray*}$ kann der Fall $\begin{eqnarray*} a\not\in X \end{eqnarray*}$ offenbar nicht auftreten.

11.10.2014, 18:09

schachtelkopf

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hey ja das leuchtet mir ein...

nur wie soll ich des dann in der beweisführung begründen das ich

dann dastehn habe? verwirrt

$\begin{eqnarray*} & \Rightarrow & a \in X \land ( a \in Y \lor a\in Z) \land ( a \not\in Y \lor a \not\in Z) \\ &\Rightarrow & a \in X \land (a \in Y \lor a\in Z) \land (a\not\in X\lor a\not\in Y\lor a\not\in Z) \end{eqnarray*}$

11.10.2014, 18:10

schachtelkopf

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muss ich bei diesem beweis dann noch extra fallunterscheidungen machen ?

dann kann ich das auch icht so aufschreiben wie bischer ?

11.10.2014, 18:40

schachtelkopf

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$\begin{eqnarray*} &\Rightarrow & a \in X\cap(Y\bigtriangleup Z)\\ &\Rightarrow & a\in X \land a \in (Y\bigtriangleup Z) \\ &\Rightarrow & a \in X \land a \in (Y \cup Z) \land a \not\in (Y \cap Z) \\ &\Rightarrow & (a \in X \land a \in Y) \lor (a \in X \land a \in Z) \land a \not\in Y \lor a \not\in Z \\ & \Rightarrow & a \in (X \cap Y) \lor a \in (X \cap Z) \land (a \not\in Y \lor a \not\in Z) \end{eqnarray*}$

Fall 1: $\begin{eqnarray*} a \not\in Y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} & \Rightarrow & a \not\in (X \cap Y) \lor a \in (X \cap Z) \\ & \Rightarrow & a \in (X \cap Y) \bigtriangleup (X \cap Z) \end{eqnarray*}$

weil es ja in $\begin{eqnarray*} a \in (X \cap Z) \end{eqnarray*}$ ist.

Fall 2: $\begin{eqnarray*} a \not\in Z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} & \Rightarrow & a \in (X \cap Y) \lor a \not\in (X \cap Z) \\ & \Rightarrow & a \in (X \cap Y) \bigtriangleup (X \cap Z) \end{eqnarray*}$

weil es ja in $\begin{eqnarray*} a \in (X \cap Y) \end{eqnarray*}$ ist.

würde das so passen oder ist das jetzt kompleter nonsens ?

11.10.2014, 20:20

Math1986

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Was genau heißt

Zitat:

weil es ja in $\begin{eqnarray*} a \in (X \cap Z) \end{eqnarray*}$ ist.

Ist soweit richtig, wenn dir auch klar ist was da in Fall 1 passiert. Fall 2 geht ja analog. Nun noch die Rückrichtung.

11.10.2014, 20:37

schachtelkopf

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hey

also hab ich da auch nichts mit dem $\begin{eqnarray*} \lor \land \end{eqnarray*}$ durcheinander gebracht?

ich habe das jetzt so geschlussfolgert weil $\begin{eqnarray*} a \in (X \cap Z) \end{eqnarray*}$ ,

heißt für mich: wenn ich die symetrischedifferenz bilde, bilde ich erst die vereinigung und nehme den schnitt weg.

daurch das $\begin{eqnarray*} a \in (X \cap Z) \end{eqnarray*}$ ist. ist er nicht in dem durchschnitt den ich bilde von $\begin{eqnarray*} (X \cap Y) \bigtriangleup (X \cap Z) \end{eqnarray*}$ drinnen...

daher letzendlich und halt nur deswegen im fall 1 $\begin{eqnarray*} \in (X \cap Y) \bigtriangleup (X \cap Z) \end{eqnarray*}$

so hab ich mir das gedacht. ?!?! Lehrer

das müsste ja richtig sein oder bring ich da was durcheinander ?

11.10.2014, 21:22

Math1986

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Ja, das stimmt so. Hast du die die Mengen mal zur Verdeutlichung gezeichnet?

11.10.2014, 21:43

schachtelkopf

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puhhh

ja hab ich gemacht..... bzw mach ich immer.

ich werde morgen hier noch den rest machen, was eigentlich ja des gleiche, nur umgekehrt ist (da bin ich am grübeln mit der fallunterscheidung) weil jetzt hab ich keinen nerv mehr dafür.

und ich mach noch $\begin{eqnarray*} X \cup (Y \bigtriangleup Z) = (X \cup Y) \bigtriangleup (X \cup Z) \end{eqnarray*}$

wär klasse wenn du dann da auch drüber schaun könntest oder jemand anderes smile

ansonsten schönen abend noch, und danke dir Gott

das du dir die zeit genommen hast Freude

12.10.2014, 13:51

schachtelkopf

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rest von gestern
hey leute, Wink

so jetzt nochmal den rest von gestern und die andere Aufgabe auch noch, wär klasse wenn da mal jemand drüberschaut ob ich da auch richtig geschlussfolgert habe .. und ob das mit den ganzen zeichen usw passt Gott

hier für $\begin{eqnarray*} X\cap(Y\bigtriangleup Z) = (X \cap Y) \bigtriangleup (X \cap Z) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a \in X\cap(Y\bigtriangleup Z)\\ &\Rightarrow & a\in X \land a \in (Y\bigtriangleup Z) \\ &\Rightarrow & a \in X \land a \in (Y \cup Z) \land a \not\in (Y \cap Z) \\ &\Rightarrow & (a \in X \land a \in Y) \lor (a \in X \land a \in Z) \land a \not\in Y \lor a \not\in Z \\ & \Rightarrow & a \in (X \cap Y) \lor a \in (X \cap Z) \land (a \not\in Y \lor a \not\in Z) \end{eqnarray*}$

Fall 1: $\begin{eqnarray*} a \not\in Y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} & \Rightarrow & a \not\in (X \cap Y) \lor a \in (X \cap Z) \\ & \Rightarrow & a \in (X \cap Y) \bigtriangleup (X \cap Z) \end{eqnarray*}$

Fall 2: $\begin{eqnarray*} a \not\in Z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} & \Rightarrow & a \in (X \cap Y) \lor a \not\in (X \cap Z) \\ & \Rightarrow & a \in (X \cap Y) \bigtriangleup (X \cap Z) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow X\cap(Y\bigtriangleup Z) \subseteq (X \cap Y) \bigtriangleup (X \cap Z) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a \in (X \cap Y) \bigtriangleup (X \cap Z)<br /> &\Rightarrow& a \in (X \cap Y) \cup (X \cap Z) \land a \not\in (X \cap Y \cap Z)<br /> &\Rightarrow & (a \in (X \cap Y) \lor a \in (X \cap Z))\land a \not\in (X \cap Y \cap Z)<br /> &\Rightarrow & a \in X \land (a \in Y \lor a\in Z) \land (a\not\in X\lor a\not\in Y\lor a\not\in Z) \end{eqnarray*}$

Fall 1: $\begin{eqnarray*} a \not\in X \end{eqnarray*}$

Ausgeschlossen weil meine Bedingung ist dass $\begin{eqnarray*} a \in X \end{eqnarray*}$ ist bzw $\begin{eqnarray*} a \in (X \cap Y) \bigtriangleup (X \cap Z) \end{eqnarray*}$ .
Würde wenn ich das so sage auch stimmen oder muss ich das anders begründen?

Fall 2: $\begin{eqnarray*} a\not\in Y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} & \Rightarrow & a \in X \land a \not\in Y \lor a \in Z \\ & \Rightarrow & a \in X \land a \in (Y \cup Z) \\ & \Rightarrow & a \in X \land a \in (Y \bigtriangleup Z) \\ & \Rightarrow & a \in X \cap (Y \bigtriangleup Z) \end{eqnarray*}$

Fall 3: $\begin{eqnarray*} a\not\in Z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} & \Rightarrow & a \in X \land a \in Y \lor a \not\in Z \\ & \Rightarrow & a \in X \land a \in (Y \cup Z) \\ & \Rightarrow & a \in X \land a \in (Y \bigtriangleup Z) \\ & \Rightarrow & a \in X \cap (Y \bigtriangleup Z) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (X \cap Y) \bigtriangleup (X \cap Z) \subseteq X \cap (Y \bigtriangleup Z) \end{eqnarray*}$

daher $\begin{eqnarray*} X\cap(Y\bigtriangleup Z) = (X \cap Y) \bigtriangleup (X \cap Z) \end{eqnarray*}$

so das ist mal die ganze aufgabe smile

die zweite folgt

lg schachtelkopf

12.10.2014, 15:03

schachtelkopf

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zweite Aufgabe
so hier gilt es zu beweisen das

$\begin{eqnarray*} X \cup (Y \bigtriangleup Z) =(X \cup Y)\bigtriangleup(X \cup Z) \end{eqnarray*}$ ist.

$\begin{eqnarray*} a \in X \cup (Y \bigtriangleup Z) \\ & \Rightarrow & a \in X \lor a \in (Y \bigtriangleup Z) \\ & \Rightarrow & a \in X \lor a \in (Y \cup Z) \land a \not\in (Y \cap Z) \\ & \Rightarrow & a \in X \lor (a \in Y \lor a \in Z) \land (a \not\in Y \lor a \not\in Z) \\ & \Rightarrow & a \in (X \cup Y \cup Z) \land a \not\in Y \lor a \not\in Z \end{eqnarray*}$

somit ergeben sich 2 Fälle.

Fall 1: $\begin{eqnarray*} a \not\in Y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} & \Rightarrow & a \in (X \cup Y \cup Z) \lor a \not\in Y \\ & \Rightarrow & a \not\in (X \cup Y) \lor a \in (X \cup Z) \\ & \Rightarrow & a \in (X \cup Y)\bigtriangleup(X \cup Z) \end{eqnarray*}$

Fall 2: $\begin{eqnarray*} a \not\in Z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} & \Rightarrow & a \in (X \cup Y \cup Z) \lor a \not\in Z \\ & \Rightarrow & a \in (X \cup Y) \lor a \not\in (X \cup Z) \\ & \Rightarrow & a \in (X \cup Y)\bigtriangleup(X \cup Z) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X \cup (Y \bigtriangleup Z) \subseteq(X \cup Y)\bigtriangleup(X \cup Z) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a \in (X \cup Y)\bigtriangleup (X \cup Z) \\ & \Rightarrow & a \in (X \cup Y) \cup (X \cup Z) \land a \not\in (X \cup Y) \cap (X \cup Z) \\ &\Rightarrow & a \in (X \cup Y) \lor a \in (X \cup Z) \land a \not\in (X \cup Y) \land a \not\in (X \cup Z) \\ & \Rightarrow & (a \in X \lor a \in Y \lor a \in Z) \land a \not\in X \lor a \not\in Y \land a \not\in Z \\ & \Rightarrow & a \in (X \cup Y \cup Z) \land a \not\in X \lor a \not\in (Y \cap Z) \end{eqnarray*}$

Fall 1: $\begin{eqnarray*} a \not\in (Y \cap Z) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} & \Rightarrow & a \in (X \cup Y \cup Z) \land a \not\in (Y \cap Z) \\ & \Rightarrow & a \in X \cup (Y \bigtriangleup Z) \end{eqnarray*}$

Fall 2: $\begin{eqnarray*} a \not\in X \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} & \Rightarrow & a \in (X \cup Y \cup Z) \land a \not\in X \\ & \Rightarrow & a \in X \cup (Y \bigtriangleup Z) \end{eqnarray*}$

somit folgt

$\begin{eqnarray*} X \cup (Y \bigtriangleup Z) \supseteq (X \cup Y)\bigtriangleup(X \cup Z) \end{eqnarray*}$

daher auch $\begin{eqnarray*} X \cup (Y \bigtriangleup Z) =(X \cup Y)\bigtriangleup(X \cup Z) \end{eqnarray*}$

so jetzt hab ich das mal auch durchgemacht .. sind da fehler drinn bezüglich zeichen oder folgerungen ?

lg Wink

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