Ideale bestimmen

Neue Frage »

Doutzi Auf diesen Beitrag antworten »
Ideale bestimmen
Meine Frage:
Hallo Zusammen!

Ich habe ein Problem bei dieser Aufgabe:

Es sei p eine Primzahl. Zeigen sie, dass
,
ein Unterring ist und bestimmen Sie alle Ideale in (in der Klammer sollte nach Z noch stehen p teilt n nicht, aber leider konnte ich das mit Latex nicht darstellen).

Meine Ideen:
Zu zeigen, dass dies ein Unterring ist, hat funktioniert. Mehr Probleme habe ich bei den Idealen... Da nur ein Unterring aber kein Körper ist, gibt es bestimmt mehr Ideale als das Null- und das Einheitsideal. Aber wie finde ich diese?

Vielen Dank für einen Tipp smile
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ideale bestimmen
Zitat:
Original von Doutzi

in der Klammer sollte nach Z noch stehen p teilt n nicht, aber leider konnte ich das mit Latex nicht darstellen


Nur zur Latex-Darstellung:
 
 
Louis1991 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ideale bestimmen
Der Ring ist als Lokalisierung eines Hauptidealringes wieder ein Hauptidealring. Jetzt reduziert sich die Frage zu der Frage nach den Einheiten. Denn genau dann wenn für eine Einheit .
Doutzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ideale bestimmen
Danke RavenOnJ für die Notation.

Hallo Louis1991

Ich merke gerade, dass die Theorie definitiv noch nicht so sitzt, wie sie sitzen sollte... Was beduetet "Ring als Lokalisierung eines Hauptidealringes wieder ein Hauptidealring"? Und wieso reduziert sich die Frage zu der Frage nach den Einheiten?

Die Einheiten sind doch Elemente des Ringes, für die gilt also .

Das wären doch dann in diesem Ring die Elemente mit (damit man nicht durch 0 teilt). Oder ist dies falsch?
Louis1991 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ideale bestimmen
Hallo Doutzi,

Habt ihr Lokalisierungen noch nicht gelernt? In dem Fall eine etwas weniger allgemeine Begründung:

Z ist ein Hauptidealring (d.h. Integritätsbereich und jedes Ideal wird von einem Element erzeugt). Nehmen wir nun an, ist ein Ideal in mit . Dann ist aber auch und ich kann es als Ideal in auffassen. Dort gibt es aber ein mit . Es bleibt nun zu überprüfen (und das sollte nicht weiter schwer sein), dass dieses aufgefasst als Element in auch aufgefasst als Ideal in erzeugt.

Zitat:
Original von Doutzi
Die Einheiten sind doch Elemente des Ringes, für die gilt also .

Das wären doch dann in diesem Ring die Elemente mit (damit man nicht durch 0 teilt). Oder ist dies falsch?


Die Einheiten sind die invertierbaren Elemente eines Ringes. Das hat nichts mit reellen Zahlen zu tun, aber vielleicht ist das auch nur ein Typo.

Was du beschreibst sind genau die Elemente von . Gesucht sind die , s.d. existiert mit .

lg
Doutzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ideale bestimmen
Hallo Louis1991,

Nein, Lokalisierungen hatten wir noch nicht. Danke für die weniger allgemeine Begründung!

Etwas verstehe ich aber noch nicht so ganz: wieso gilt: " Dann ist aber auch und ich kann es als Ideal in auffassen."


Entschuldige, natürlich sollte nicht , sondern nur R stehen.

Zitat:
Gesucht sind die , s.d. existiert mit .



Wenn meine Elemente in von der Form sind, müssen dann die Einheiten nicht von der Form sein, da gilt? Dann wäre mit und

Stimmt das soweit?
Louis1991 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ideale bestimmen
Deine Argumentation zu den Einheiten stimmt soweit.

Zu der Sache mit dem Ideal: Sei , sei . D.h. mit und nur endlich viele der .

Allerdings ist auch , also erzeugen schon die das Ideal .
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ideale bestimmen
Zitat:
Original von Louis1991
Sei


Vielleicht war Doutzi nicht klar, dass du damit eine Erzeugermenge meinst, keine Aufzählung aller Elemente in dem Ideal und dass einfach eine andere Erzeugermenge von ist.
Doutzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ideale bestimmen
Hmm von einer Erzeugermenge eines Ideals habe ich in der Vorlesung auch noch nie etwas gehört verwirrt

Brauche ich das, um die Aufgabe lösen zu können?

Bin ehrlich gesagt immer noch nicht viel weiter, weil ich die Theorie nicht wirklich verstehe... Was muss ich nun genau herausfinden/zeigen um die Ideale zu bestimmen?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie kann ich das nicht ganz glauben verwirrt

Naja ich versuche mal frischen Wind reinzubringen:

Wir haben ja offenbar .

Nun nehme ein Ideal und betrachte . Dies ist ein Ideal in den ganzen Zahlen, also von der Form . Zeige: .
Doutzi Auf diesen Beitrag antworten »

Habe gerade nochmal die ganzen Notizen der Vorlesung durchgeschaut, wir hatten wirklich nie etwas über die Erzeugermenge eines Ideals...

Ich bin gerade total verwirrt... wie sieht denn jetzt ein Ideal in ? Sind das nun Elemente der Form ?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ein Ideal in diesem Ring aussieht, sollst du ja in dieser Aufgabe genau herausfinden.

Und die Lösung haben wir dir ja schon genannt (Was Hauptideale sind und welche Elemente Hauptideale haben, habt ihr in der Vorlesung mit Sicherheit mind. erwähnt. Lies dies und am besten auch gleich alle eure Notizen über Ideale nochmal genau durch), du musst nur noch die Beweisschritte ausführen.

Wir haben dir ja sogar zwei (eigentlich gleiche Lösungen in verschiedenen Gewändern) Lösungsmöglichkeit vorgeschlagen und eine davon kommt sogar ohne die Erzeugernotation aus.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »