Cosinus Gleichung

12.10.2014, 17:20

Tennismaster7

Cosinus Gleichung

cos(x-1) = 0,5 für alle reellen Zahlen

also cos wird ja bei pi/3 und 5pi/3 0,5.
Was bringt mir jetzt aber diese Information?

12.10.2014, 17:25

adiutor62

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RE: Cosinus Gleichung
Also muss das Argument des cos diese Werte annehmen.

Es muss daher gelten:

x-1=pi/3 bzw. x-1=5pi/3

--> x= ... bzw. x=...

12.10.2014, 17:25

sixty-four

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RE: Cosinus Gleichung

Zitat:

Original von Tennismaster7
Was bringt mir jetzt aber diese Information?

Du weißt jetzt was x-1 ist.

12.10.2014, 17:29

Tennismaster7

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ja klar, aber da gibt es ja unendich Werte Big Laugh

ich hab ja kein Intervall.

12.10.2014, 17:37

sixty-four

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Ein lineares Gleichungssystem kann auch unendlich viele Lösungen haben. Wo ist das Problem?

12.10.2014, 17:43

Tennismaster7

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ja wie viele Lösungen soll ich dann hinschreiben?

12.10.2014, 17:49

HAL 9000

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Die $\begin{align*} 2\pi \end{align*}$ -Periodizität der Sinus- und Kosinusfunktion ist dir doch bekannt? Das hier

Zitat:

Original von Tennismaster7
also cos wird ja bei pi/3 und 5pi/3 0,5.

sind doch nur die beiden Lösungen im Grundintervall $\begin{align*} [0,2\pi] \end{align*}$ .

12.10.2014, 17:51

sixty-four

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Zitat:

Original von Tennismaster7
ja wie viele Lösungen soll ich dann hinschreiben?

Alle.

Der Cosinus ist eine periodische Funktion. Das bedeutet $\begin{eqnarray*} f(x)=f(x+\varphi) \end{eqnarray*}$
Dabei ist $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ die Periodenlänge.

Du musst dir jetzt überlegen, welche Periodenlänge der Cosinus hat. dann kannst du auch alle Lösungen hinschreiben.

12.10.2014, 17:53

Tennismaster7

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ja schon mal gehört Big Laugh

ah ok und die 2pi Periodizität gilt immer?

12.10.2014, 17:56

sixty-four

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Zitat:

Original von Tennismaster7
ah ok und die 2pi Periodizität gilt immer?

Nicht bei jeder beliebigen periodischen Funktion, aber beim Cosinus schon.

Edit: Genauer gesagt: beim Cosinus vom einfachen Argument.
Die Funktion $\begin{eqnarray*} cos(\frac{3}{2}x) \end{eqnarray*}$ ist auch periodisch. Die Periodenlänge ist aber nicht $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$

12.10.2014, 18:00

Tennismaster7

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wie siehts beim Sinus dann aus?

12.10.2014, 18:10

sixty-four

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Der Sinus vom einfachen Argument hat auch die Periode $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ .
Das kannst du schon daran sehen, dass der Cosinus ja nichts anderes ist, als ein phasenverschobener Sinus.

12.10.2014, 18:31

Tennismaster7

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ok, dann gibt es aber trotzdem noch eine Sache, die ich nicht verstehe:

HAL 9000 meinte in meinem Sinus Beispiel sin(x^2 + 1) = 0
dass sin bei kpi 0 ist, wenn K der Wert für alle ganzen Zahlen ist.

wieso nehme ich bei der hier dann K und bei der Cosinusgleichung dann nicht?

12.10.2014, 18:38

HAL 9000

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Ja und? Da ist doch kein Widerspruch, sondern völlige Übereinstimmung

Die beiden Lösungen von $\begin{align*} \sin(x)=0 \end{align*}$ im Grundintervall $\begin{align*} [0,2\pi) \end{align*}$ sind $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ und $\begin{align*} x=\pi \end{align*}$ , alle weiteren reellen Lösungen ergeben sich durch Hinzuaddieren ganzzahliger Vielfacher der Periodizität $\begin{align*} 2\pi \end{align*}$ . In diesem besonderen Fall kann man aber die beiden Lösungsstränge $\begin{align*} 0+m2\pi \end{align*}$ und $\begin{align*} \pi + m2\pi \end{align*}$ zu einem Strang $\begin{align*} x=k\pi \end{align*}$ zusammenfassen.

Im hier vorliegenden Fall $\begin{align*} \cos(t)=\frac{1}{2} \end{align*}$ hat man die beiden Lösungsstränge $\begin{align*} \frac{\pi}{3}+m2\pi \end{align*}$ und $\begin{align*} \frac{5\pi}{3}+m2\pi \end{align*}$ , die sich diesmal nicht so einfach in einem Strang schreiben lassen.

12.10.2014, 18:46

Tennismaster7

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gut habs verstanden smile

ich hätte es aber auch einfach so lösen können:

x^2 +1 = 0 /-1
x^2 = -1 --> keine Lösung

x^2 +1 = pi /-1
x^2 = pi -1 / Wurzel
x = Wurzel pi - 1

12.10.2014, 18:47

HAL 9000

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Damit hast du aber noch nicht alle reellen Lösungen, sondern bisher nur eine. Willst du alle (unendlich vielen) Fälle einzeln aufschreiben? Noch dazu hast du in deinem zweiten Fall die negative Lösung $\begin{align*} x = -\sqrt{\pi-1} \end{align*}$ vergessen...

12.10.2014, 18:53

Tennismaster7

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naja für die Cosinus Gleichung bekomm ich doch auch nicht alle reellen Lösungen sondern nur zwei Big Laugh

es geht doch um die 2pi-Periodizität oder nicht?

12.10.2014, 18:55

HAL 9000

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falscher Einwand

Zitat:

Original von Tennismaster7
naja für die Cosinus Gleichung bekomm ich doch auch nicht alle reellen Lösungen sondern nur zwei Big Laugh

Dann hast du den Thread nicht richtig mitgelesen. unglücklich

Die obigen k,m durchlaufen jeweils alle reellen Zahlen. Es ist nur so, dass bei $\begin{align*} x^2+1=k\pi \end{align*}$ nur die Werte $\begin{align*} k\geq 1 \end{align*}$ auch zu reellen Lösungen führen, die Werte $\begin{align*} k\leq 0 \end{align*}$ hingegen nicht (für $\begin{align*} k=0 \end{align*}$ hast du das ja selbst schon gemerkt).

Insgesamt schlage ich vor, dass du mal ein bisschen genauer über die Periodizität nachzudenkst, statt immer und immer wieder dieselben Fehler zu machen, endlos nachzufragen ohne Lernzuwachs - das muss doch nicht sein.

12.10.2014, 19:53

Tennismaster7

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Es gibt auch bei der Cosinusgleichung unendlich viele reelle Lösungen, wenn du es so begründest?

12.10.2014, 19:54

HAL 9000

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Ja klar!!! Wozu wohl habe ich oben extra nochmal die Grafiken eingefügt? Finger1

13.10.2014, 16:18

Tennismaster7

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ich glaub, du verstehst nicht, was ich meine.

die Lösungen bei dieser Cosinus-Gleichung sind auf jeden Fall:

x = pi/3 + 1 und
x= 5/3pi + 1

weil es sich nicht zu einem Strang zusammenfassen lässt.
Aus diesem Grund greife ich hier auf die 2pi-Periodizität zurück.

So hab ich es jetzt verstanden.

13.10.2014, 17:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von Tennismaster7
ich glaub, du verstehst nicht, was ich meine.

Das kann ich bestätigen: Ich verstehe wirklich nicht, wo noch dein Problem liegt.

Zitat:

Original von Tennismaster7
die Lösungen bei dieser Cosinus-Gleichung sind auf jeden Fall:

x = pi/3 + 1 und
x= 5/3pi + 1

Ja - aber doch nicht nur die: Es kommen noch dazu

x = 7pi/3 + 1
x = 11pi/3 + 1
x = 13pi/3 + 1
x = 17pi/3 + 1
...

bzw. auch in negativer Richtung
x = -pi/3 + 1
x = -5pi/3 + 1
x = -7pi/3 + 1
x = -11pi/3 + 1
...

alles aufgrund der $\begin{align*} 2\pi \end{align*}$ -Periodizität.

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