Sehnen und Tangenten am Kreis

12.10.2014, 21:30

hedgehog in the fog

Sehnen und Tangenten am Kreis

Meine Frage:
Hallo geehrte Matheprofis,

in einem Mathebuch wird behaupted, dass der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{t} = \frac{1}{| \vec{AB}|^2 }\vec{AB} + \frac{1}{| \vec{BC}|^2 }\vec{BC} \end{eqnarray*}$
die Richtung der Tangente in B hat. Wie kommt man auf die Kombination aus AB und BC ? [attach]35693[/attach]

Meine Ideen:
Ich versuchte den Vektor MB auch als eine Kombination aus AB und BC darstellen und das Skalarprodukt anzuwenden.

13.10.2014, 00:42

opi

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Zu Grunde liegt der Satz des Pythagoras. Der Punkt M wird hier nicht benötigt.

13.10.2014, 14:34

riwe

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fehlt da noch etwas verwirrt

13.10.2014, 17:28

hedgehog in the fog

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Das Dreieck ABC ist ein beliebiges Dreieck. M ist der Mittelpunkt des Kreises. Wo sollte eigentlich der Satz des Pythagoras angewandt?

13.10.2014, 17:36

hedgehog in the fog

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Zitat:

Original von riwe
fehlt da noch etwas verwirrt

der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{t} \end{eqnarray*}$ ist doch Tangentenvektor. D.h. $\begin{eqnarray*} \vec{MB}\cdot\vec{t}=0 \end{eqnarray*}$ . Was wollten Sie mit Ihrem Bild andeuten?

13.10.2014, 17:40

riwe

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Zitat:

Original von hedgehog in the fog

Zitat:

Original von riwe
fehlt da noch etwas verwirrt

der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{t} \end{eqnarray*}$ ist doch Tangentenvektor. D.h. $\begin{eqnarray*} \vec{MB}\cdot\vec{t}=0 \end{eqnarray*}$ . Was wollten Sie mit Ihrem Bild andeuten?

dass diese Behauptung so im Allgemeinen nicht stimmt unglücklich

(vermutlich soll BA = BC gelten)

13.10.2014, 20:02

hedgehog in the fog

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Zitat:

Original von riwe

Zitat:

Original von hedgehog in the fog

Zitat:

Original von riwe
fehlt da noch etwas verwirrt

der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{t} \end{eqnarray*}$ ist doch Tangentenvektor. D.h. $\begin{eqnarray*} \vec{MB}\cdot\vec{t}=0 \end{eqnarray*}$ . Was wollten Sie mit Ihrem Bild andeuten?

dass diese Behauptung so im Allgemeinen nicht stimmt unglücklich

(vermutlich soll BA = BC gelten)

ich zeichnete einen beliebigen Dreieck und die Aussage stimmt: $\begin{eqnarray*} \vec{AB}= \begin{pmatrix} 33 \\ 5 \end{pmatrix} , \vec{BC}=\begin{pmatrix} -7 \\ 23 \end{pmatrix} ; | \vec{AB} |^2=1114 ,| \vec{BC} |^2=578 ; \vec{t}=\frac{1}{1114}\begin{pmatrix} 33 \\ 5 \end{pmatrix} + \frac{1}{578}\begin{pmatrix} -7 \\ 23 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0.02 \\ 0.08\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
[attach]35700[/attach]

$\begin{eqnarray*} \vec{t} \end{eqnarray*}$ ist senkrecht zu $\begin{eqnarray*} \vec{MB} \end{eqnarray*}$ , ausgenommen kleine Rundungsfehler

13.10.2014, 22:14

riwe

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so ein Plunder: wo steht den in der Anfangsaufgabe M verwirrt

und Rundungsfehler können tödlich sein.

Also bitte stelle die Originalaufgabe her oder lasse es sein

14.10.2014, 01:25

opi

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Zitat:

Original von opi
Zu Grunde liegt der Satz des Pythagoras. Der Punkt M wird hier nicht benötigt.

Was ich da gestern zu sehen glaubte, sehe ich heute leider nicht mehr. verwirrt

Ich muß da morgen oder in den nächsten Tagen noch einmal 'ran, im Moment drehe ich mich im Kreis. unglücklich

14.10.2014, 02:22

Tesserakt

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Wir betrachten den Kreis $\begin{eqnarray*} \Gamma = \{(r \cdot \cos(\varphi) + x_M, r \cdot \sin(\varphi) + y_M)|\varphi \in \mathbb R\} \end{eqnarray*}$ mit dem Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} M = (x_M,y_M) \end{eqnarray*}$ sowie drei beliebigen unterschiedlichen Punkten $\begin{eqnarray*} A,B,C \in \Gamma \end{eqnarray*}$ , etwa
$\begin{eqnarray*} A = (r \cdot \cos(\varphi_A) + x_M, r \cdot \sin(\varphi_A) + y_M), B = (r \cdot \cos(\varphi_B) + x_M, r \cdot \sin(\varphi_B) + y_M), C = (r \cdot \cos(\varphi_C) + x_M, r \cdot \sin(\varphi_C) + y_M). \end{eqnarray*}$

Es gilt $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB} = r \cdot \begin{pmatrix} \cos(\varphi_B) - \cos(\varphi_A) \\ \sin(\varphi_B) - \sin(\varphi_A) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{BC} = r \cdot \begin{pmatrix} \cos(\varphi_C) - \cos(\varphi_B) \\ \sin(\varphi_C) - \sin(\varphi_B) \end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

Entsprechend hat man $\begin{eqnarray*} |\overline{AB}|^2 = 2r^2 \cdot (1 - \sin(\varphi_A)\sin(\varphi_B) - \cos(\varphi_A)\cos(\varphi_B)) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} |\overline{BC}|^2 = 2r^2 \cdot (1 - \sin(\varphi_B)\sin(\varphi_C) - \cos(\varphi_B)\cos(\varphi_C)) \end{eqnarray*}$ (Anwendung des trigonometrischen Satz des Pythagoras, um dieses Ergebnis in dieser Form zu erhalten!).

Definiert man also $\begin{eqnarray*} \vec{t} \end{eqnarray*}$ wie im Startbeitrag, so hat man

$\begin{eqnarray*} \vec{t} = \frac{1}{2r} \cdot \begin{pmatrix} \frac{\cos(\varphi_B) - \cos(\varphi_A)}{1 - \sin(\varphi_A)\sin(\varphi_B) - \cos(\varphi_A)\cos(\varphi_B)} + \frac{\cos(\varphi_C) - \cos(\varphi_B)}{1 - \sin(\varphi_B)\sin(\varphi_C) - \cos(\varphi_B)\cos(\varphi_C)} \\ \frac{\sin(\varphi_B) - \sin(\varphi_A)}{1 - \sin(\varphi_A)\sin(\varphi_B) - \cos(\varphi_A)\cos(\varphi_B)} + \frac{\sin(\varphi_C) - \sin(\varphi_B)}{1 - \sin(\varphi_B)\sin(\varphi_C) - \cos(\varphi_B)\cos(\varphi_C)} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Man sieht nun sehr leicht, dass $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{MB} \cdot \vec{t} = 0 \end{eqnarray*}$ ist, wenn man den trigonometrischen Satz des Pythagoras verwendet.

Die Aussage gilt also allgemein, riwe!

An die Moderatoren: Eine Komplettlösung widerspricht zwar im Allgemeinen dem Boardprinzip, allerdings rechtfertigt dieser Fall hoffentlich dies.

14.10.2014, 04:04

riwe

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ja ich hab´s im soeben Schlaf erkannt- man beachte die Zeit - , ich habe die "²" im Nenner nicht gesehen.

ein einfacher Weg wäre:
betrachte die 3 beliebigen Punkte im o.B.d.A Einheitskreis

$\begin{eqnarray*} A(cos\alpha/sin\alpha), B(0/1), C(cos\gamma/sin\gamma) \end{eqnarray*}$

damit folgt einfach für die y-Komponente

$\begin{eqnarray*} 2((1-sin\alpha)(sin\gamma-1)+(1-sin\gamma)(1-sin\alpha))=0 \end{eqnarray*}$

woraus die Behauptung folgt.

und das Resume: ich brauche schon wieder eine neue Brille

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